Câu hỏi:
13/07/2024 1,538Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh\[d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN\]
Gọi N là trung điểm của AC ta có\[\left( {BB'M} \right) \equiv \left( {BB'MN} \right)\] nên\[d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right)\]
Vì tam giác ABC đều nên\[AN \bot BN\] Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AN \bot BN}\\{AN \bot MN}\end{array}} \right. \Rightarrow AN \bot (BB\prime MN)\) nên\[d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN = 4\]
Bước 2: Tính\[{V_{A.BB'M}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = {V_{B'.ABM}}\]
Ta lại có\[BN = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 ,\,\,MN = AA' = \sqrt 6 \] nên
\[{S_{BB'MN}} = MN.BN = \sqrt 6 .4\sqrt 3 = 12\sqrt 2 \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = 6\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow {V_{A.BB'M}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = \frac{1}{3}.4.12\sqrt 2 = 16\sqrt 2 = {V_{B'.ABM}}\]
Bước 3: Sử dụng\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}}\]
Lại có\[{V_{B'.ABM}} = \frac{1}{3}d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}\] nên\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {22} }\\{AB = 8}\\{BM = \sqrt {B{B^{\prime 2}} + B'{M^2}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3\sqrt 6 }\end{array}\]
Bước 4: Sử dụng công thức\[{S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} \] với p là nửa chu vi tam giác ABM.
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có\[p = \frac{{\sqrt {22} + 8 + 3\sqrt 6 }}{2}\]
\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} = 12\sqrt 2 \]
Vậy\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}} = \frac{{3.16\sqrt 2 }}{{12\sqrt 2 }} = 4\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình lập phương ABCD,A′B′C′D′ có cạnh bằng 3a. Khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
5,855
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Xem đáp án »
27/06/2022
1,947
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,523
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Xem đáp án »
27/06/2022
1,498
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc \({60^ \circ }\)Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,431
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^ \circ }\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,370
Bình luận
LL CX
20:54 - 22/03/2023
Ở bước 2, khi thay S của BB'M đáng lẽ là 6.sqrt(2) thì ad nhầm thành 12.sqrt(2) kìa
về câu hỏi!