Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh\[d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN\]

Gọi N là trung điểm của AC ta có\[\left( {BB'M} \right) \equiv \left( {BB'MN} \right)\] nên\[d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right)\]

Vì tam giác ABC đều nên\[AN \bot BN\] Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AN \bot BN}\\{AN \bot MN}\end{array}} \right. \Rightarrow AN \bot (BB\prime MN)\) nên\[d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN = 4\]

Bước 2:  Tính\[{V_{A.BB'M}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = {V_{B'.ABM}}\]

Ta lại có\[BN = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 ,\,\,MN = AA' = \sqrt 6 \] nên

\[{S_{BB'MN}} = MN.BN = \sqrt 6 .4\sqrt 3 = 12\sqrt 2 \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = 6\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow {V_{A.BB'M}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}BB'M}} = \frac{1}{3}.4.12\sqrt 2 = 16\sqrt 2 = {V_{B'.ABM}}\]

Bước 3:  Sử dụng\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}}\]

Lại có\[{V_{B'.ABM}} = \frac{1}{3}d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right).{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}\] nên\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}}\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {22} }\\{AB = 8}\\{BM = \sqrt {B{B^{\prime 2}} + B'{M^2}} }\\{ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3\sqrt 6 }\end{array}\]

Bước 4: Sử dụng công thức\[{S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} \] với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có\[p = \frac{{\sqrt {22} + 8 + 3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} = 12\sqrt 2 \]

Vậy\[d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABM}}}} = \frac{{3.16\sqrt 2 }}{{12\sqrt 2 }} = 4\]