Cho phương trình \[{\log _3}x.{\log _5}x = {\log _3}x + {\log _5}x\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Phương trình có một nghiệm hữu tỉ và một nghiệm vô tỉ
B.Phương trình có một nghiệm duy nhất
C.Phương trình vô nghiệm
D.Tổng các nghiệm của phương trình là một số chính phương
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điều kiện x>0
Ta đặt\[{\log _3}x = u;{\log _5}x = v \Rightarrow u.v = u + v\]
Khi đó\[x = {3^u} = {5^v}\] suy ra\[{\log _3}{3^u} = {\log _3}{5^v} \Leftrightarrow u = v{\log _3}5\]
\[ \Rightarrow uv = u + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 = v{\log _3}5 + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 - v\left( {{{\log }_3}5 + 1} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow v\left( {v{{\log }_3}5 - {{\log }_3}5 - 1} \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 0}\\{vlo{g_3}5 - lo{g_3}5 - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 0}\\{v = \frac{{lo{g_3}5 + 1}}{{lo{g_3}5}}}\end{array}} \right. = 1 + \frac{1}{{lo{g_3}5}}\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{u = 1 + lo{g_3}5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1(TM)}\\{x = {3^{1 + lo{g_3}5}} = 15(TM)}\end{array}} \right.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = 1,{x_2} = 15\] và tổng hai nghiệm bằng 16 là một số chính phương.
Đáp án cần chọn là: D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[{\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\]
B. 4
C. 2
D. \[6 + 4\sqrt 2 \]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {4^{x - 1}} \Leftrightarrow {4^x} - {12.2^x} + 4 = 0\]
Đặt \[t = {2^x}\] khi đó phương trình trở thành \[{t^2} - 12t + 4 = 0\] phương trình có hai nghiệm\[{t_1},{t_2}\] thỏa mãn\[{t_1}{t_2} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng.
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,{{11}^x} + m = {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = x - m + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = {{11}^{{{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}} + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)\,\,\left( * \right)}\end{array}\]
Xét hàm số\[f\left( t \right) = {11^t} + t \Rightarrow y' = {11^t}.\ln 11 + 1 > 0\,\,\,\forall t\] Khi đó hàm số\[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên\(\mathbb{R}\)
Do đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow x = {\log _{11}}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {11^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {11^x}\]
Bước 2: Khảo sát hàm số\[g(x) = x - {11^x}\]
Xét hàm số \[g\left( x \right) = x - {11^x}\] ta có
\[g'\left( x \right) = 1 - {11^x}.\ln 11 = 0 \Rightarrow x = {\log _{11}}\frac{1}{{\ln 11}} = {x_0}\]
Bảng biến thiên:
Bước 3: Biện luận nghiệm theo m.
Để phương trình đã cho có nghiệm thì\[m < g\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,78\]
Kết hợp điều kiện đề bài ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 205 < m \le - 1}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)
Vậy có 204 giá trị của nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[S = \left\{ { - 3;3} \right\}\]
B. \[S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\]
C. \[S = \left\{ 3 \right\}\]
D. \[S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập