Có bao nhiêu số nguyên \[a \in \left( { - 2019;2019} \right)\] để phương trình \[\frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a\] có hai nghiệm phân biệt?

\[\frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} - x = a\,\,\left( * \right)\]

Xét hàm số\[f\left( x \right) = \frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} - x\]

ĐKXĐ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 > 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ln(x + 5) \ne 0}\\{{3^x} - 1 \ne 0}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 5}\\{x + 5 \ne 1}\\{{3^x} \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 5}\\{x \ne - 4}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow D = \left( { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 4;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\]

Ta có:

\[f'\left( x \right) = - \frac{1}{{\left( {x + 5} \right){{\ln }^2}\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{{3^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} - 1} \right)}^2}}} - 1 < 0,\forall x \in D\]

BBT:

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm \[ \Leftrightarrow a \ge 4\]

Kết hợp ĐK \[ \Rightarrow a \in \left\{ {4;...;2018} \right\}\]Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D