Câu hỏi:
27/06/2022 111Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\] Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\;\] bằng:
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Phương trình logarit và một số phương pháp giải !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = (x + y - 1)[2(x + y) - 1] - 4(xy + 1)\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2{(x + y)^2} - 3(x + y) + 1 - 4(xy + 1)\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) + 4xy - (3x + 3y) + 1 - 4xy - 4\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) - (3x + 3y + 4) + 1\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}({x^2} + {y^2}) + 2({x^2} + {y^2}) + lo{g_2}2\]
\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}(2{x^2} + 2{y^2}) + (2{x^2} + 2{y^2})( * )\]
Xét hàm số đặc trưng \[f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\] ta có
\[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\]
⇒ Hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\]
Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow 3x + 3y + 4 = 2{x^2} + 2{y^2}\]Ta có:\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3x + 3y + 4\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x + y \le 4\]
Kết hợp điều kiện đề bài ta có\[0 < x + y \le 4\]
Xét biểu thức
\[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}} = \frac{{2\left( {2x + y + 1} \right) + x + y - 4}}{{2x + y + 1}} = 2 + \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}}\]
Do \[x + y \le 4 \Leftrightarrow x + y - 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}} \le 0 \Rightarrow P \le 2\]
Vậy\[{P_{max}} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho phương trình \[{11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\]với mm là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 205;205} \right)\] để phương trình đã cho có nghiệm?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,631
Câu 2:
Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:
Xem đáp án »
27/06/2022
1,926
Câu 3:
Giải phương trình: \[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {t - {{\log }_2}x} \right)dt = 2{\log _2}\frac{2}{x}\] (ẩn x)
Giải phương trình: \[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {t - {{\log }_2}x} \right)dt = 2{\log _2}\frac{2}{x}\] (ẩn x)
Xem đáp án »
27/06/2022
1,501
Câu 4:
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{5}{4}\]
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{5}{4}\]
Xem đáp án »
27/06/2022
786
Câu 5:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\] Phương trình \[f\prime \left( x \right) = 0\;\] có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2020\pi } \right)?\]
Xem đáp án »
27/06/2022
468
Câu 6:
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\] , ta có nghiệm là:
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\] , ta có nghiệm là:
Xem đáp án »
27/06/2022
393
về câu hỏi!