Cho phương trình: \[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\] với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:
A.4
B.1
C.2
D.3
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow {2^{ - 2|x - m|}}.2.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) - {2^{2x - {x^2}}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2) = 0\]
\[ \Leftrightarrow {2^{ - 2|x - m| + 1}}.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2x - {x^2}}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}}.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2|x - m| - 1}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}} + 2.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2|x - m| + 2}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]
Xét hàm đặc trưng\[f\left( t \right) = {2^t}.{\log _2}t\,\,\left( {t \ge 2} \right)\] ta có
\[f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2.{\log _2}t + {2^t}.\frac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t \ge 2\] do đó hàm số đồng biến trên\[\left[ {2; + \infty } \right)\]
Lại có\[f\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right|}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {x - 1} \right)}^2} = 2\left| {x - m} \right|\,\,\left( * \right)}\end{array}\]
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \[m = \frac{1}{2},\,\,m = 1,\,\,m = \frac{3}{2}\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[{\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\]
B. 4
C. 2
D. \[6 + 4\sqrt 2 \]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {4^{x - 1}} \Leftrightarrow {4^x} - {12.2^x} + 4 = 0\]
Đặt \[t = {2^x}\] khi đó phương trình trở thành \[{t^2} - 12t + 4 = 0\] phương trình có hai nghiệm\[{t_1},{t_2}\] thỏa mãn\[{t_1}{t_2} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng.
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,{{11}^x} + m = {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = x - m + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = {{11}^{{{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}} + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)\,\,\left( * \right)}\end{array}\]
Xét hàm số\[f\left( t \right) = {11^t} + t \Rightarrow y' = {11^t}.\ln 11 + 1 > 0\,\,\,\forall t\] Khi đó hàm số\[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên\(\mathbb{R}\)
Do đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow x = {\log _{11}}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {11^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {11^x}\]
Bước 2: Khảo sát hàm số\[g(x) = x - {11^x}\]
Xét hàm số \[g\left( x \right) = x - {11^x}\] ta có
\[g'\left( x \right) = 1 - {11^x}.\ln 11 = 0 \Rightarrow x = {\log _{11}}\frac{1}{{\ln 11}} = {x_0}\]
Bảng biến thiên:
Bước 3: Biện luận nghiệm theo m.
Để phương trình đã cho có nghiệm thì\[m < g\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,78\]
Kết hợp điều kiện đề bài ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 205 < m \le - 1}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)
Vậy có 204 giá trị của nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[S = \left\{ { - 3;3} \right\}\]
B. \[S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\]
C. \[S = \left\{ 3 \right\}\]
D. \[S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập