Câu hỏi:

28/06/2022 157

Tập nghiệm của bất phương trình\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\] là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right)\).Khi đó abab bằng

A.\[\frac{{12}}{5}\]

B. \[\frac{5}{{12}}\]

C. \[\frac{{15}}{{16}}\]

D. \[\frac{{16}}{{15}}\]

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bất phương trình logarit !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện :

\[x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4 > 0 \Leftrightarrow x.\frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4 > 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + \frac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} > 0 \Rightarrow 6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} > 0\] (vì \[\sqrt {{x^2} + 2} > x;\,\forall x\])

\[ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2} > - 3x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x \ge 0}\\{4({x^2} + 2) > {{( - 3x)}^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]</>

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{5{x^2} < 8}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {\frac{{6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow lo{g_2}(6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2 + x} ) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}[2(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} )] - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}2 + lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow 1 + lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + x + \sqrt {{x^2} + 2} ( * )\end{array}\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = t + {\log _2}t\,\] với t>0 ta có \[f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t.\ln 2}} > 0;\,\forall t > 0\] nên f(t) là hàm đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\]Từ đó

\[\begin{array}{l}( * ) \Leftrightarrow f(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) \le f(\sqrt {{x^2} + 2} + x)\\ \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le \sqrt {{x^2} + 2} + x\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} \le - 2x\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x \ge 0}\\{{x^2} + 2 \le 4{x^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{3{x^2} \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{{\sqrt 6 }}{3}}\\{x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Kết hợp điều kiện \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0}\end{array}} \right.\) ta có\[ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\] hay\[ - \sqrt {\frac{8}{5}} < x \le - \sqrt {\frac{2}{3}} \]

Tập nghiệm bất phương trình\[S = \left( { - \sqrt {\frac{8}{5}} ; - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right]\] nên\[a = \frac{8}{5};b = \frac{2}{3} \Rightarrow a.b = \frac{8}{5}.\frac{2}{3} = \frac{{16}}{{15}}.\]

Đáp án cần chọn là: D

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]

Xem đáp án » 13/07/2024 4,457

Câu 2:

Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.

A.403,32 (triệu đồng).

B.293,32 (triệu đồng).

C.412,23 (triệu đồng).

D.393,12 (triệu đồng).

Xem đáp án » 28/06/2022 1,817

Câu 3:

Xét các số thực không âm a,b thỏa mãn \[2a + b \le lo{g_2}\left( {2a + b} \right) + 1\]. Giá trị nhỏ nhất của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 13/07/2024 999

Câu 4:

Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]

A.\[m \in \left( {0; + \infty } \right)\]

B. \[m \in \left( { - \frac{3}{4};0} \right)\]

C. \[m \in \left( { - \frac{3}{4}; + \infty } \right)\]

D. \[m \in \left( { - \infty ;0} \right)\]

Xem đáp án » 28/06/2022 945

Câu 5:

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:

A.6

B.8

C.1

D.0

Xem đáp án » 28/06/2022 912

Câu 6:

Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình

\[{\log _m}({2.1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}({3.1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0m < 1\]. Biết rằng x=1x=1 là một nghiệm của bất phương trình.

A.\[S = ( - 2;0) \cup (\frac{1}{3};\,\,3\,]\]

B. \[S = ( - 1;0) \cup (\frac{1}{3};\,\,2\,]\,.\]

C. \[S = \left[ { - 1\,,\,0} \right) \cup (\frac{1}{3};\,\,3\,]\]

D. \[S = ( - 1;0) \cup (1;\,\,3\,]\]

Xem đáp án » 28/06/2022 602

Câu 7:

Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A.\[2{\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\]

B. \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\]

C. \[{\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\]

D. \[{\log _{\frac{2}{5}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\]

Xem đáp án » 28/06/2022 585

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tập nghiệm của bất phương trình\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\] là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right)\).Khi đó abab bằng

Nhà sách VIETJACK:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]

Xét các số thực không âm a,b thỏa mãn \[2a + b \le lo{g_2}\left( {2a + b} \right) + 1\]. Giá trị nhỏ nhất của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng bao nhiêu?

Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:

Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình

\[{\log _m}({2.1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}({3.1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0m < 1\]. Biết rằng x=1x=1 là một nghiệm của bất phương trình.

Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tập nghiệm của bất phương trình\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\] là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right)\).Khi đó abab bằng

Nhà sách VIETJACK:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]

Xét các số thực không âm a,b thỏa mãn \[2a + b \le lo{g_2}\left( {2a + b} \right) + 1\]. Giá trị nhỏ nhất của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng bao nhiêu?

Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:

Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình \[{\log _m}({2.1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}({3.1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0m < 1\]. Biết rằng x=1x=1 là một nghiệm của bất phương trình.

Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình

\[{\log _m}({2.1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}({3.1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0m < 1\]. Biết rằng x=1x=1 là một nghiệm của bất phương trình.