Câu hỏi:
13/07/2024 285Xét các số thực x,y thỏa mãn \[{2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le ({x^2} + {y^2} - 2x + 2){4^x}\]. Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\;\] là \[a + \sqrt a \].Tìm a
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Chia cả 2 vế của bất phương trình cho\[{4^x}\] và đặt \[t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\]
Nhận xét:\[{x^2} + {y^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x,y\]
Bpt \[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} - 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} - 2x + 2\]
Đặt\[t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\] bất phương trình trở thành\[{2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} - t - 1 \le 0\]
Bước 2: Xét hàm đặc trưng\[f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\] và đánh giá t từ đó đánh giá\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\]
Xét hàm số\[f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\] có\[f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {{{\log }_2}e} \right).\]
BBT:
Suy ra ta có\[0 \le t \le 1 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\]
Bước 3: Biến đổi P và tìm min, max
Ta có:
\[P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}} \Leftrightarrow 2Px - Py + P = 8x + 4\]
\[ \Leftrightarrow P - 4 = \left( {8 - 2P} \right)x + Py \Leftrightarrow 3P - 12 = \left( {8 - 2P} \right)\left( {x - 1} \right) + Py\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {8 - 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right]\]
\[ \Rightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le {\left( {8 - 2P} \right)^2} + {P^2} \Leftrightarrow 4{P^2} - 40P + 80 \le 0\]
\[ \Leftrightarrow 5 - \sqrt 5 \le P \le 5 + \sqrt 5 \]
Bước 4: Xét dấu “=” xảy ra
Dấu “=” xảy ra
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{8 - 2P}}{P} = \frac{{x - 1}}{y} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\\{{{(x - 1)}^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}y}\\{\frac{9}{5}{y^2} = 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \mp \frac{2}{3}}\\{y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)
\[ \Rightarrow \max P = 5 + \sqrt 5 \] đạt được khi\[x = \frac{1}{3};y = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]
Vậy a=5
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Bước 1: Đặt\[f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) - {\log _4}\left( {x - y} \right)\] và tìm điều kiện xác định.
Đặt\[f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) - {\log _4}\left( {x - y} \right)\] (coi yy là tham số).
Điều kiện xác định của f(x) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + {y^2} > 0}\\{{y^2} + y + 64 > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\)
Do x,y nguyên nên\[x > y \ge - {y^2}\] Cũng vì x,y nguyên nên ta chỉ xét f(x) trên nửa khoảng \[\left[ {y + 1; + \infty } \right)\]
Bước 2: Xét hàm số trên\[\left[ {y + 1; + \infty } \right)\]
Ta có:
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2020}} - \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 2021}} - \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 4}} < 0,\;\forall x \ge y + 1\]
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
Bước 4: Tìm y nguyên \[f\left( {y + 64} \right) < 0\]
Yêu cầu bài toán trở thành:
\[f\left( {y + 64} \right) < 0\]
\[ \Leftrightarrow {\log _{2020}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) < {\log _4}64\]
\[ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right)\left( {{{\log }_{2020}}2021 + 1} \right) < 3\]
\[ \Leftrightarrow {y^2} + y + 64 - {2021^{\frac{3}{{{{\log }_{2020}}2021 + 1}}}} < 0\]
\[ \Leftrightarrow - 301,76 < y < 300,76\]
Mà y nguyên nên\[y \in \left\{ { - 301; - 300; \ldots ;299;300} \right\}\]
Vậy có 602 giá trị nguyên của yy thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải
Gọi số tiền đóng hàng năm là A=12 (triệu đồng), lãi suất là\[r = 6{\rm{\% }} = 0,06\]
Sau 1 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là\[{A_1} = A\left( {1 + r} \right)\] (nhưng người đó không rút mà lại đóng thêm A triệu đồng nữa, nên số tiền gốc để tính lãi năm sau là\[{A_1} + A\])
Sau 2 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
\[{A_2} = \left( {{A_1} + A} \right)\left( {1 + r} \right) = \left[ {A\left( {1 + r} \right) + A} \right]\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} + A\left( {1 + r} \right)\]
Sau 3 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
\[\begin{array}{l}{A_3} = \left( {{A_2} + A} \right)\left( {1 + r} \right) = \left[ {A{{\left( {1 + r} \right)}^2} + A\left( {1 + r} \right) + A} \right]\left( {1 + r} \right)\\ = A{\left( {1 + r} \right)^3} + A{\left( {1 + r} \right)^2} + A\left( {1 + r} \right)\end{array}\]
Sau 18 năm, người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
\[{A_{18}} = A{\left( {1 + r} \right)^{18}} + A{\left( {1 + r} \right)^{17}} + ... + A{\left( {1 + r} \right)^2} + A\left( {1 + r} \right)\]
Tính:\[{A_{18}} = A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{18}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{17}} + ... + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1 - 1} \right]\]
\[ \Rightarrow {A_{18}} = A\left[ {\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{19}} - 1}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} - 1} \right] = A\left[ {\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{19}} - 1}}{r} - 1} \right] = 12\left[ {\frac{{{{\left( {1 + 0,06} \right)}^{19}} - 1}}{{0,06}} - 1} \right] \approx 393,12\]
Đáp án cần chọn là: D
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo