Câu hỏi:
28/06/2022 284Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\] và hàm số \[f(t) = {t^4} - {t^2} + 2\]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right)\] Tính M+m?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = sin\alpha }\\{y = cos\alpha }\end{array}} \right.\) Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right)\]
Đặt\[t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\] Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right) = f\left( t \right)\]
\[\begin{array}{l}t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\,\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow t\sin \alpha + t{\rm{cos}}\,\alpha - 2t = \sin \alpha + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha + t\,{\rm{cos}}\,\alpha = 2t + 1\end{array}\](*)
Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \[\alpha \] thì\[{\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1 \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le t \le 0\]
Xét\[Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\] trên đoạn\[\left[ { - 3;0} \right]\] có:
\[f\prime (t) = 4{t^3} - 2t,f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} }\end{array}} \right.\]
Hàm số \[f\left( t \right)\] liên tục trên\[\left[ { - 3;0} \right]\] có\[f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\]
⇒M + m\[ = \frac{7}{4} + 74 = \frac{{303}}{4}\]
Đáp án cần chọn là: C
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có\[y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Do\[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]\]nên\[k = - 1\]hay\[x = - \frac{\pi }{2}\]
Suy ra
\[y( - \frac{\pi }{2}) = - 1;y( - \frac{\pi }{3}) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
TXĐ: \[R \setminus \left\{ 0 \right\}\]
\[y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)\]hoặc\[x = - 1(ktm)\]
Bảng biến thiên:
\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} \,y = f\left( 1 \right) = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Top 10 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án (Đề 7)
Nhắn tin Zalo