Cho hàm số \[F(x) = {x^2}\;\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{4x}}\], hàm số f(x) có đạo hàm f′(x). Họ nguyên hàm của hàm số \[f\prime \left( x \right){e^{4x}}\] là

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Vì F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}}\\{F'\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c + 2ax + b} \right){e^x}}\\{F'\left( x \right) = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x}}\\{ = {x^2}.{e^x}}\end{array}\]

Bước 2:

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1.{x^2} + 0.x + 0}\\{\left[ {a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x} = {x^2}.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = {x^2}}\\{ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = 1.{x^2} + 0.x + 0}\end{array}\]

Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\\begin{array}{l}2a + b = 0\\b + c = 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\\begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array}\end{array}} \right.\)

Vậy\[P = abc = 1.\left( { - 2} \right).2 = - 4.\]

Đáp án cần chọn là: A