Câu hỏi:
28/06/2022 130Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]và \[F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}\] là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]
Đặt\[\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t - 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} - t} \right)dt}\\{ = \frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C}\\{ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\{ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì
Xem đáp án »
28/06/2022
442
Câu 2:
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:
Xem đáp án »
28/06/2022
408
Câu 6:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là
Xem đáp án »
28/06/2022
296
Câu 7:
Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Xem đáp án »
28/06/2022
288
về câu hỏi!