Câu hỏi:

28/06/2022 269

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1,\] Tính giá trị biểu thức \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\]

A.\[\frac{{{\pi ^2}}}{2} + \ln \frac{\pi }{2} + 1\]

B. \[\frac{{{\pi ^2}}}{4} - \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]

C. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]

D. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]Trả lời:

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]

Khi đó

\[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \left( {x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint x{\rm{d}}x + \smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.\]

Đặt

\[t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime }{\rm{d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\]

Suy ra

\[\smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x = \smallint \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\]

Do đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.}\\{ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.}\\{ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì

A.\[I = - \,\smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]

B. \[I = \smallint {\sin ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]

C. \[I = \smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]

D. \[I = \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]

Lời giải

Đặt\[x = \frac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\frac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t\]

Và\[\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\frac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.\]

Khi đó

\[I = \smallint {\sin ^2}t.\cos t.\left( { - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t = - \,\smallint {\cos ^2}t\,{\rm{d}}t = - \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:

A.\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} + 1} \right)du\]

B. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( { - {u^2} + 1} \right)du\]

C. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]

D. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} - 1} \right)du\]

Lời giải

\[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\]

Đặt

\[u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{2udu}}{3}\]

\[I = \smallint \frac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Nguyên hàm của hàm số \[y = \cot x\] là:

A.\[\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

B. \[\ln \left| {\sin x} \right| + C\]

C. \[\sin x + C\]

D. \[\tan x + C\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tính \[I = \smallint 3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx\]

A.\[I = \frac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]

B. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]

C. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\]

D. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Nếu \[t = {x^2}\] thì:

A.\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\]

B. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}f\left( t \right)dt\]

C. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\]

D. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là

A.\[x = 1 - \sqrt 3 \]

B. \[x = 1\]

C. \[x = - 1\]

D. \[x = 0\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]

B. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.\]

C. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]

D. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1,\] Tính giá trị biểu thức \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\]

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:

Nguyên hàm của hàm số \[y = \cot x\] là:

Tính \[I = \smallint 3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx\]

Nếu \[t = {x^2}\] thì:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là

Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu