Câu hỏi:
28/06/2022 117Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1,\] Tính giá trị biểu thức \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]
Khi đó
\[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \left( {x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint x{\rm{d}}x + \smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.\]
Đặt
\[t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime }{\rm{d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\]
Suy ra
\[\smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x = \smallint \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\]
Do đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.}\\{ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.}\\{ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: DNhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì
Xem đáp án »
28/06/2022
432
Câu 2:
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:
Xem đáp án »
28/06/2022
399
Câu 6:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là
Xem đáp án »
28/06/2022
288
Câu 7:
Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Xem đáp án »
28/06/2022
280
về câu hỏi!