Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1,\] Tính giá trị biểu thức \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\]
A.\[\frac{{{\pi ^2}}}{2} + \ln \frac{\pi }{2} + 1\]
B. \[\frac{{{\pi ^2}}}{4} - \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]
C. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]
D. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]Trả lời:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]
Khi đó
\[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \left( {x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint x{\rm{d}}x + \smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.\]
Đặt
\[t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime }{\rm{d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\]
Suy ra
\[\smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x = \smallint \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\]
Do đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.}\\{ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.}\\{ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[I = - \,\smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
B. \[I = \smallint {\sin ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
C. \[I = \smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
D. \[I = \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]
Lời giải
Đặt\[x = \frac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\frac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t\]
Và\[\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\frac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.\]
Khi đó
\[I = \smallint {\sin ^2}t.\cos t.\left( { - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t = - \,\smallint {\cos ^2}t\,{\rm{d}}t = - \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A.\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} + 1} \right)du\]
B. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( { - {u^2} + 1} \right)du\]
C. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]
D. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} - 1} \right)du\]
Lời giải
\[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\]
Đặt
\[u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{2udu}}{3}\]
\[I = \smallint \frac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3
A.\[\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
B. \[\ln \left| {\sin x} \right| + C\]
C. \[\sin x + C\]
D. \[\tan x + C\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[I = \frac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
B. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
C. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
D. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\]
B. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}f\left( t \right)dt\]
C. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\]
D. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[x = 1 - \sqrt 3 \]
B. \[x = 1\]
C. \[x = - 1\]
D. \[x = 0\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
B. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.\]
C. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
D. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo