Trong hệ trục toạ độ không gian Oxyz, cho \[A\left( {1,0,0} \right),B\left( {0,b,0} \right),C\left( {0,0,c} \right),\] biết b,c>0, phương trình mặt phẳng \[\left( P \right):y - z + 1 = 0\;\]. Tính \[M = c + b\]  biết \[\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right),\;d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}\]

Gọi\[A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\]  là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]

Lại có \[OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\]

Suy ra\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = c}\\{a = - b = c}\end{array}} \right.\) và\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = - c}\\{a = - b = - c}\end{array}} \right.\) mà\[a = b = - \,c\] không thỏa mãn điều kiện (1).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

\( + )(P):x + y + z - 1 = 0\)có VTPT\[\vec a = (1;1;1)\]

\( + )(Q):2x + my + 2z + 3 = 0\) có VTPT\[\vec b = (2;m;2)\]

\( + )(R): - x + 2y + nz = 0\)có VTPT\[\vec c = ( - 1;2;n)\]

Bước 2: Tính m+2n

\[(P) \bot (R) \Leftrightarrow \vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\]

\[(P)//(Q) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\]

Vây\[m + 2n = 2 + 2( - 1) = 0\]