Câu hỏi:
13/07/2024 5,813Trong không gian Oxyz, gọi M′ là điểm đối xứng của điểm M(2;0;1) qua đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\]. Tính khoảng cách từ điểm M′ đến mặt phẳng (Oxy).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\].
Ta có: \[{\rm{\Delta }}:\,\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\] và M(2;0;1)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với\[{\rm{\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right).\]
\[ \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,x - 2 + 2y + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.\]
Bước 2: Tìm tọa độ điểm\[H = \left( P \right) \cap {\rm{\Delta }}\] khi đó H là trung điểm của MM′, từ đó tìm tọa độ điểm M′.
Gọi H là giao điểm của (P) và \[{\rm{\Delta }}\]
⇒ Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}}\\{x + 2y + z - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{x + 2y + z - 3 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{t - 4 + 4t + 1 + t - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{t = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 0}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow H(1;0;2)\)
Ta có: M′ là điểm đối xứng của M qua \[{\rm{\Delta }}\] ⇒H là trung điểm của MM′ ⇒M′(0;0;3)
Bước 3: Khoảng cách từ \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\]đến mặt phẳng (P)
Ta có: (Oxy):z=0.
\[ \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{1} = 3.\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Gọi d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng (Oxy). Biết phương trình đó có dạng: \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + bt}\\{y = c}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
Tính a+b+c.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,256
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−2y−z+7=0 và điểm A(1;1;−2). Điểm H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Tổng a+b+c bằng:
Xem đáp án »
13/07/2024
1,425
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm A′(a;b;c) đối xứng với điểm A(−1;0;3) qua mặt phẳng (P):x+3y−2z−7=0. Tìm a+b+c
Xem đáp án »
13/07/2024
1,361
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(2;1;1), cắt và vuông góc với đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{1}\]. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz).
Xem đáp án »
30/06/2022
1,288
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−y−z−1=0 và đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\]. Phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;−2) vuông góc với d và song song với (P) là:
Xem đáp án »
30/06/2022
853
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \[(\alpha ):4x + 3y - 7z + 1 = 0\]. Phương trình tham số của d là:
Xem đáp án »
30/06/2022
407
về câu hỏi!