Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Trần Văn Giàu (TP.HCM) năm 2024-2025 (có đáp án)

Quan sát đường tròn lượng giác, điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ nhất, tạo với trục hoành một góc bằng \(\frac{\pi }{3}\). Do đó, điểm \(M\) biểu diễn cho họ góc lượng giác có số đo là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

Điểm \(N\) nằm đối xứng với điểm \(M\) qua gốc tọa độ \(O\). Khi đó, điểm \(N\) cách điểm \(M\) một nửa đường tròn, tương ứng với một góc \(\pi \). Số đo góc biểu diễn điểm \(N\) là \(x = \frac{\pi }{3} + \pi + k2\pi = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \).

Để gộp hai điểm biểu diễn \(M\) và \(N\) đối xứng nhau qua gốc tọa độ vào cùng một công thức, ta sử dụng chu kỳ \(k\pi \). Công thức tổng quát biểu diễn cho cả hai điểm là: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B.

Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) chứa đường thẳng \(DM\).

Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\):

Điểm chung thứ nhất là \(S\).

Trong mặt đáy \(ABCD\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(DM\) cắt giao tuyến \(SO\) tại một điểm (gọi là \(I\)).

Vì \(I \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(I \in \left( {SAC} \right)\). Vậy \(I\) chính là giao điểm của \(DM\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Chọn B.

Tìm điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\):

Rõ ràng điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất.

Xét trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\): Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) (giao điểm của \(AC\) và \(BD\)). Do \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) nên đoạn thẳng \(MN\) cũng đi qua tâm đối xứng \(O\) của hình bình hành.

Vì \(O \in MN\) nên \(O \in \left( {SMN} \right)\). Đồng thời \(O \in AC\) nên \(O \in \left( {SAC} \right)\). Vậy \(O\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

Chọn C.

Ta có: \(\alpha = 108 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{108}}{{180}}\pi = \frac{{3\pi }}{5}{\rm{\;rad}}\).

Chọn C.

Áp dụng công thức cộng đối với hàm côsin: \({\rm{cos}}\left( {A + B} \right) = {\rm{cos}}A{\rm{cos}}B - {\rm{sin}}A{\rm{sin}}B\).

Đặt \(A = x - y\) và \(B = y\), biểu thức trở thành: \(M = {\rm{cos}}\left[ {\left( {x - y} \right) + y} \right] = {\rm{cos}}x\).

Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0: \({\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}2x \ne 0\).

Áp dụng công thức nhân đôi: \({\rm{sin}}4x = 2{\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}2x \Rightarrow {\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}2x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}4x\).

Điều kiện tương đương với: \({\rm{sin}}4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{4}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A.