Câu hỏi:
25/05/2022 337Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - bài toán đếm !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\]
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
⇒\[ \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\]
TH1: d=0, số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c\,\, \vdots \,\,3\]
Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 \equiv 0(mod\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,3)}\\{\{ 2;5;8\} \equiv 2(mod\,3)}\end{array}} \right.\)
+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\]
⇒ Có 3! cách chọn.
+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\]
⇒ Có 3! cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có \[1.C_3^1.C_3^1.3!\]cách chọn.
⇒ Có \[3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\]số.
TH2: d=5, số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\], trong đó \[5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\].
Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\{ 0;9\} \equiv 0(mod\,\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,\,3)}\\{\{ 2;8\} \equiv 2(mod\,\,3)}\end{array}} \right.\)
+) Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có \[C_3^1\] cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có: \[C_3^1.3!\] cách chọn.
Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm \[\overline {bc} \]
Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có \[C_3^1\] cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn \[\overline {bc} \]là \[C_3^1.2!\]
⇒ Có \[C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12\] cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có \[C_2^1.3! - 2! = 10\] cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có \[C_3^2.C_2^1.3! = 36\] cách chọn.
Vậy có tất cả \[66 + 12 + 10 + 36 = 124\]số thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy chọn ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Hỏi thầy giáo đó có bao nhiêu cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Xem đáp án »
13/07/2024
9,215
Câu 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.
Xem đáp án »
25/05/2022
7,258
Câu 4:
Một nhóm gồm 2 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 2 học sinh lớp 12 xếp thành hai hàng ngang để chụp ảnh, mỗi hàng 3 người. Gọi n là số cách xếp sao cho 2 học sinh lớp 10 đứng ở hàng phía trước và 2 học sinh lớp 12 đứng ở hàng phía sau. Tính n.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,797
Câu 5:
Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Gọi a là số cách xếp các học sinh thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ. Tính a.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,462
Câu 6:
Cho tập \[A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}\] Hỏi có thể lập được từ tập A bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số 7.
Xem đáp án »
25/05/2022
2,172
về câu hỏi!