Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại \[{x_0}\] khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua \[{x_0}\].

2. Hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \[{x_0}\] khi và chỉ khi \[{x_0}\] là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu \[f\prime (x0) = 0\;\] và \[f\prime \prime (x0) = 0\;\] thì \[{x_0}\] không phải là cực trị của hàm số y=f(x) đã cho.

4. Nếu f′(x0)=0 và \[f\prime \prime (xo) > 0\;\] thì hàm số đạt cực đại tại \[{x_0}\].

Các phát biểu đúng là:

+) Ta có định lí: Nếu \[f\prime (x)\;\] đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm \[{x_o}\] (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \[{x_o}\] ⇒⇒ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để \[{x_o}\] là điểm cực trị của hàm số là: \[{x_o}\] là nghiệm của phương trình \[f\prime (x) = 0 \Rightarrow \;\] 2 sai.

+) Nếu \[f\prime ({x_o}) = 0\;\] và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm \[{x_o}\] thì:

-) Nếu \[f''\left( {{x_o}} \right) < 0\] thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm \[{x_o}\].

-) Nếu \[f''\left( {{x_o}} \right) > 0\] thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \[{x_o}\].

+) Nếu \[f'\left( {{x_o}} \right) = 0\] và \[f''\left( {{x_o}} \right) = 0\] thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại \[{x_o}\].

Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime ({x_0}) = 0}\\{f\prime \prime ({x_0}) = 0}\end{array}} \right.\)thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại \[{x_o}\].

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm \[f\left( x \right) = {x^4}\] có \[f'\left( x \right) = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

\[f''\left( x \right) = 12{x^2}\]và \[f''\left( 0 \right) = 0\].

Trong TH này hàm số có \[f''\left( 0 \right) = 0\]nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0 vì đạo hàm \[f\prime (x)\;\] đổi dấu từ âm sang dương qua x=0.

+) TH2: Xét hàm \[g\left( x \right) = {x^3}\] có \[f'\left( x \right) = 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]\[f''\left( x \right) = 6x \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 0\]

Trong TH này hàm số có \[f''\left( 0 \right) = 0\] nhưng không đạt cực trị tại x=0 vì đạo hàm \[f'\left( x \right) = 3{x^2}\] không đổi dấu của x=0.

⇒ 3 và 4 sai.

Đáp án cần chọn là: B