Cho hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.\]. Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:

\[\begin{array}{l}y\prime = 4{x^3} - 4mx\\y\prime = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt m \left( 1 \right)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Hàm số \[y = f(x)\;\] có 3 cực trị

⇔\[y\prime = 0\] có 3 nghiệm phân biệt

⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔m>0.

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là\[A(0;a);B( - \sqrt m ;b);C(\sqrt m ;c)\] Khi đó:

\[ + )x = 0 \Rightarrow A(0;3m + 2)\]

\[\begin{array}{l} + )x = - \sqrt m \Rightarrow y = {( - \sqrt m )^4} - 2m.{( - \sqrt m )^2} + 3m + 2\\ = {m^2} - 2{m^2} + 3m + 2\\ = - {m^2} + 3m + 2 \Rightarrow B( - \sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2)\end{array}\]

\[\begin{array}{l} + )x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 3m + 2\\ \Rightarrow C(\sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2)\end{array}\]

Ta luôn có\[AB = AC\] nên tam giác ABC đều

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {( - \sqrt m )^2} + {( - {m^2})^2} = {(2\sqrt m )^2} + {0^2}\\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m\\ \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0\\ \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \sqrt[3]{3}}\end{array}} \right.\end{array}\]

Kết hợp điều kiện\[m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\]