Câu hỏi:

28/06/2022 208

Cho hàm số \[y = 2{x^3} + m{x^2} - 12x - 13\] với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có\[y' = 6{x^2} + 2mx - 12.\]

Do\[{\rm{\Delta '}} = {m^2} + 72 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\]nên hàm số luôn có hai điểm cực trị\[{x_1},{x_2}\]với\[{x_1},{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[y' = 0\].

Theo định lí Viet, ta có \[{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{3}.\]

Gọi\[A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\] và \[B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\]  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow {x_1} = - {x_2}\]  (do\[{x_1} \ne {x_2}\])

\[ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.\]

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Để đồ thị hàm số\[y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\] có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình\[m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\] phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\[\begin{array}{l}m{x^3} - (2m - 1){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)[m{x^2} - (m - 1)x + m + 1] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{m{x^2} - (m - 1)x + m + 1 = 0( * * )}\end{array}} \right.\end{array}\]

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m.1 - (m - 1).1 + m + 1 \ne 0}\\{\Delta = {{(m - 1)}^2} - 4m(m + 1) > 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m - m + 1 + m + 1 \ne 0}\\{{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} - 4m > 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m \ne - 2}\\{ - 3{m^2} - 6m + 1 > 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m \ne - 2}\\{\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Mà\[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = - 1\]

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm số\[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] là \[2m + 1\] trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số\[y = f\left( x \right)\]

Do đó để hàm số\[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]  có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm số\[y = f\left( x \right)\] phải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có:\[f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + {m^2} - 4\]

Xét\[f'\left( x \right) = 0\] có\[{\rm{\Delta '}} = {m^2} - {m^2} + 4 > 0\,\,\forall m\]  nên\[f'\left( x \right) = 0\] có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - m + 2}\\{{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\)

Bước 3:

\[\left( * \right) \Rightarrow - m - 2 \le 0 < - m + 2 \Leftrightarrow - 2 \le m < 2\]

Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\]

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP