Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mm để đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + mx + 2m}}{{x + 1}}\] có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

ĐKXĐ: \[D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 1} \right\}\]

Ta có: \[y = \frac{{{x^2} + mx + 2m}}{{x + 1}} = x + m - 1 + \frac{{m + 1}}{{x + 1}}\]

\[ \Rightarrow y' = 1 - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình \[y' = 0\] phải có 2 nghiệm phân biệt khác −1\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime = 1 + m > 0}\\{1 - 2 - m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > - 1}\\{m \ne - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)

Khi đó, giả sử \[{x_1},\,\,{x_2}\] là nghiệm phân biệt của phương trình \[y' = 0\], áp dụng định lí Vi-ét ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}.{x_2} = - m}\end{array}} \right.\)

Đặt\[A\left( {{x_1};{x_1} + m - 1 + \frac{{m + 1}}{{{x_1} + 1}}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m - 1 + \frac{{m + 1}}{{{x_2} + 1}}} \right)\] là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì \[\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + ({x_1} + m - 1 + \frac{{m + 1}}{{{x_1} + 1}})({x_2} + m - 1 + \frac{{m + 1}}{{{x_2} + 1}}) = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_1}.{x_2} + (m - 1)({x_1} + {x_2}) + (m + 1)(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}})\\ + {(m - 1)^2} + ({m^2} - 1)(\frac{1}{{{x_1} + 1}} + \frac{1}{{{x_2} + 1}}) + \frac{{{{(m + 1)}^2}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_1}.{x_2} + (m - 1)({x_1} + {x_2}) + (m + 1)\frac{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ + {(m - 1)^2} + ({m^2} - 1)\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}} + \frac{{{{(m + 1)}^2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\{x_1}.{x_2} + (m - 1)({x_1} + {x_2}) + (m + 1)\frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + x}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ + {(m - 1)^2} + ({m^2} - 1)\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}} + \frac{{{{(m + 1)}^2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ \Leftrightarrow - 2m - 2(m - 1) + (m + 1).\frac{{2 + 2m}}{{ - m - 1}} + {(m - 1)^2} + \frac{{{{(m + 1)}^2}}}{{ - m - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow - 2m - 2m + 2 - 2 - 2m + {m^2} - 2m + 1 - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 9}\end{array}} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\]

\[ \Rightarrow S = \left\{ {0;9} \right\}\]

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A