Họ nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\] là:

A.\[\frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

B. \[ - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

C. \[\frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

D. \[ - \frac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]Trả lời:

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Nguyên hàm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\]

Do đó, ta cần biến đổi\[\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}}\] để tính được nguyên hàm.

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}} = \frac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}\\{ = \frac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}\end{array}\]

\( \Rightarrow \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{(a + 2b)x - a + b}}{{(2x + 1)(x - 1)}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2b = 2}\\{ - a + b = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{4}{3}}\\{b = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)

Do đó:

\[\smallint \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx\; = \smallint \left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{3}.\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx\;\]

\[ = \; - \frac{4}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx\; + \frac{5}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx\]

\[ = \; - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C = \; - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

Đáp án cần chọn là: B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu:

A.\[F'\left( x \right) = f''\left( x \right)\]

B. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

C. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

D. \[f'\left( x \right) = F\left( x \right)\]

Lời giải

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Cho hàm số \[F(x) = {x^2}\;\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{4x}}\], hàm số f(x) có đạo hàm f′(x). Họ nguyên hàm của hàm số \[f\prime \left( x \right){e^{4x}}\] là

A.\[ - 4{x^2} + 3x + C.\]

B. \[ - 4{x^2} + 2x + C.\]

C. \[4{x^2} + 2x + C.\]

D. \[ - 4{x^2} + x + C.\]

Lời giải

Vì\[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{4x}}\] nên:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right){e^{4x}} = F'\left( x \right) = 2x}\\{ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{e^{4x}}}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{4x}} - 8x.{e^{4x}}}}{{{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 8x}}{{{e^{4x}}}}}\\{ \Rightarrow f'\left( x \right){e^{4x}} = 2 - 8x}\\{ \Rightarrow \smallint f'\left( x \right){e^{4x}}dx = \smallint \left( {2 - 8x} \right)dx = - 4{x^2} + 2x + C}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3