Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: f\[\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\;f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\;\] và \[f(x).f\prime (x) = (2x + 1)\sqrt {1 + {f^2}(x)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị f(1) bằng

A.\[\sqrt {15} \]

B. \[\sqrt {23} \]

C. \[\sqrt {24} \]

D. \[\sqrt {26} \]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Nguyên hàm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:\[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \]

\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx = \smallint \left( {2x + 1} \right)dx\]

Tính\[\smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx\] ta đặt

\[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\]

Thay vào ta được

\[\smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx = \smallint \frac{{tdt}}{t} = \smallint dt = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C\]

Do đó\[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C = {x^2} + x\]

\[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3\]

Từ đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)} - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)} = 5}\\{ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} }\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu:

A.\[F'\left( x \right) = f''\left( x \right)\]

B. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

C. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

D. \[f'\left( x \right) = F\left( x \right)\]

Lời giải

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Cho hàm số \[F(x) = {x^2}\;\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{4x}}\], hàm số f(x) có đạo hàm f′(x). Họ nguyên hàm của hàm số \[f\prime \left( x \right){e^{4x}}\] là

A.\[ - 4{x^2} + 3x + C.\]

B. \[ - 4{x^2} + 2x + C.\]

C. \[4{x^2} + 2x + C.\]

D. \[ - 4{x^2} + x + C.\]

Lời giải

Vì\[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{4x}}\] nên:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right){e^{4x}} = F'\left( x \right) = 2x}\\{ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{e^{4x}}}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{4x}} - 8x.{e^{4x}}}}{{{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 8x}}{{{e^{4x}}}}}\\{ \Rightarrow f'\left( x \right){e^{4x}} = 2 - 8x}\\{ \Rightarrow \smallint f'\left( x \right){e^{4x}}dx = \smallint \left( {2 - 8x} \right)dx = - 4{x^2} + 2x + C}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3