Câu hỏi:
28/06/2022 127Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có :\[{\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\]
\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\frac{x}{{\cos x}}.x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{x}{{cosx}}}\\{dv = \frac{{xcosx}}{{{{(xsinx + cosx)}^2}}}dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{xsinx + cosx}}{{co{s^2}x}}dx}\\{v = \frac{1}{{xsinx + cosx}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(I = - \frac{x}{{cosx}}.\frac{1}{{xsinx + cosx}}\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{co{s^2}x}}} \)
\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\frac{1}{{\frac{\pi }{4}\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + tanx\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right.\)
\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)}} + 1 = \frac{{ - 2\pi }}{{\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = \frac{{4 - \pi }}{{4 + \pi }} \Rightarrow m = 4\)
Đáp án cần chọn là: C
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Câu 2:
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi \], với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.
Câu 3:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Câu 4:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Câu 5:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Câu 6:
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:
Câu 7:
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
về câu hỏi!