Câu hỏi:

28/06/2022 232

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}$ , tổng m+n

A.bằng 12.

Đáp án chính xác

B.bằng 10.

C.bằng 8.

D.bằng 6.

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(3sinx + cosx)}\\{dv = \frac{{dx}}{{si{n^2}x}}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{3cosx - sinx}}{{3sinx + cosx}}dx}\\{v = - cotx - 3 = - \frac{{3sinx + cosx}}{{sinx}}}\end{array}} \right.$

Khi đó

$I = [ - (cotx + 3)ln(3sinx + cosx)]\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3cosx - sinx}}{{sinx}}} dx$

$= 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d(sinx)}}{{sinx}}} .}$

$= 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3ln|sinx|\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right.}$

$\begin{array}{l} = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4} - 3.ln\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2 - 3ln3 - \frac{\pi }{4} + 3ln\sqrt 2 = 15.ln\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4}\end{array}$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 15}\\{n = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow m + n = 12$

Đáp án cần chọn là: A

Bình luận

Câu 1:

Biết tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. 0

Xem đáp án » 28/06/2022 1,706

Câu 2:

Biết $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi$ , với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.

A.S=0

B.S=1

C. $S = \frac{1}{2}$

D. $S = \frac{3}{8}$

Xem đáp án » 28/06/2022 1,015

Câu 3:

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,$ , nếu đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.$ thì

A. $I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

B. $I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

C. $I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

D. $I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g'\left( x \right)dx$

Xem đáp án » 28/06/2022 396

Câu 4:

Để tính $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = xcosxdx}\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = cosx}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}cosx}\\{dv = dx}\end{array}} \right.$

Xem đáp án » 28/06/2022 395

Câu 5:

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x$

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{{3{e^2} + 1}}{4}$

C. $I = \frac{{{e^2} + 1}}{4}$

D. $I = \frac{{{e^2} - 1}}{4}$

Xem đáp án » 28/06/2022 373

Câu 6:

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ thỏa mãn: $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}$ và $f\left( 1 \right) = 5$ . Khi đó $\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx$ bằng:

A. $\frac{{32}}{{15}}$

B. $\frac{{86}}{{15}}$

C. $\frac{{ - 11}}{{15}}$

D. $\frac{{16}}{{15}}$

Xem đáp án » 28/06/2022 331

Câu 7:

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{2x}}\;$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.$ . Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx$

A. $I = 0.$

B. $I = - \,1.$

C. $I = 1.$

D. $I = 2.$

Xem đáp án » 28/06/2022 323

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}$ , tổng m+n

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Biết $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi$ , với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,$ , nếu đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.$ thì

Để tính $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x$

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ thỏa mãn: $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}$ và $f\left( 1 \right) = 5$ . Khi đó $\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx$ bằng:

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{2x}}\;$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.$ . Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho tích phân I=π2∫π4ln(3sinx+cosx)sin2xdx=m.ln√2+n.ln3−π4I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}, tổng m+n

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết tích phân I=1∫0xe2xdx=ae2+bI = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Biết π4∫0x.cos2xdx=a+bπ\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi , với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.

Cho tích phân I=b∫af(x).g′(x)dx,I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,, nếu đặt {u=f(x)dv=g′(x)dx\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right. thì

Để tính I=π2∫0x2cosxdxI = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Tính tích phân I=e∫1xlnxdxI = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}$ , tổng m+n

Biết tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Biết $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi$ , với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,$ , nếu đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.$ thì

Để tính $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x$