Câu hỏi:
28/06/2022 237Cho \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5\] với \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Tính tổng a+b+c.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^1 xdx + \mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt {{x^2} + 15} dx\]
\[{I_1} = \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{1}{2}{x^2}\left| {_0^1} \right. = \frac{1}{2}\]
\({I_2} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} } dx = x\sqrt {{x^2} + 15} \left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {x.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \)
\[ = 4 - \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx = 4 - \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} dx + \int\limits_0^1 {\frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} } } \]
\( \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} dx\)
Đặt
\[x + \sqrt {{x^2} + 15} = t \Rightarrow \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} \right)dx = dt \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} = \frac{{dt}}{t}\]
Khi đó:
\(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} dx = \int\limits_{\sqrt {15} }^5 {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right|\left| {_{\sqrt {15} }^5} \right. = ln5 - ln\sqrt {15} = \frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 3\)
\[ \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15.\left( {\frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 3} \right) \Leftrightarrow {I_2} = 2 + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3\]
\[I = {I_1} + {I_2} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3 = \frac{5}{2} + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3 \Rightarrow a + b + c = \frac{5}{2} + \frac{{15}}{4} - \frac{{15}}{4} = \frac{5}{2}\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,435
Câu 2:
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi \], với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.
Xem đáp án »
28/06/2022
846
Câu 3:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Xem đáp án »
28/06/2022
328
Câu 4:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Xem đáp án »
28/06/2022
327
Câu 5:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Xem đáp án »
28/06/2022
310
Câu 6:
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
273
Câu 7:
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Xem đáp án »
28/06/2022
265
về câu hỏi!