Câu hỏi:
28/06/2022 117Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}\]
Đặt\[t = \frac{x}{2} \Rightarrow dt = \frac{1}{2}dx \Leftrightarrow dx = 2dt\] Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 \Rightarrow t = 2}\\{x = 7 \Rightarrow t = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[I = 2\mathop \smallint \limits_2^{\frac{7}{2}} f\left( t \right)dt\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(t)}\\{dv = dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (t)dt}\\{v = t - \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[I = 2\left( {\left( {t - \frac{7}{2}} \right)f(t)\mid _2^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {t - \frac{7}{2}} \right)} f\prime (t)dt} \right)\]
\(I = 2\left( {\frac{7}{2}f\left( 0 \right) - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)f'\left( x \right)dx} } \right)\)
\(I = 2\left( {\frac{7}{2}f\left( 2 \right) - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right).\frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}dx} } \right)\)
\(I = - 2\int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)} .\frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}dx\)
\(I = \frac{{236}}{{15}}\)
\[ \Rightarrow a = 236,b = 15\]
Vậy\[a + b = 236 + 15 = 251\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,435
Câu 2:
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi \], với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.
Xem đáp án »
28/06/2022
846
Câu 3:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Xem đáp án »
28/06/2022
328
Câu 4:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Xem đáp án »
28/06/2022
327
Câu 5:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Xem đáp án »
28/06/2022
310
Câu 6:
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
273
Câu 7:
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Xem đáp án »
28/06/2022
265
về câu hỏi!