Câu hỏi:
28/06/2022 104Cho hàm số f(x) có \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\] và \[f\prime (x) = xsinx\]. Giả sử rằng \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\] (với a,b,c là các số nguyên dương, \(\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó a+b+c bằng:
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx = xsinxdx}\\{v = sinx}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {cosx.f(x)dx = sinx.f(x)\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xsi{n^2}xdx} \)
\[ = sin\frac{\pi }{2}.f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\frac{{1 - cos2x}}{2}} dx\]
\[ = 2 - \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xcos2xdx} } } \right)\]
\[\begin{array}{l} = 2 - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}} - I} \right.} \right)\\ = 2 - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{8} - I} \right)\\ = 2 - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{I}{2}\end{array}\]
Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos 2xdx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = cos2xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{{sin2x}}{2}}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[I = x.\frac{{sin2x}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {sin2xdx} \]
\[I = \frac{\pi }{2}.\frac{{sin\pi }}{2} - 0 + \frac{1}{2}.\frac{{cos2x}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\]
\[I = \frac{1}{4}(cos\pi - cos0)\]
\[I = \frac{1}{4}( - 1 - 1) = - \frac{1}{2}\]
Do đó\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = 2 - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\]
\[ \Rightarrow a = 7,\,\,b = 4,\,\,c = 16\]
Vậy\[a + b + c = 7 + 4 + 16 = 27\]Đáp án cần chọn là: D
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,435
Câu 2:
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi \], với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.
Xem đáp án »
28/06/2022
846
Câu 3:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Xem đáp án »
28/06/2022
328
Câu 4:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Xem đáp án »
28/06/2022
327
Câu 5:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Xem đáp án »
28/06/2022
310
Câu 6:
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
273
Câu 7:
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Xem đáp án »
28/06/2022
265
về câu hỏi!