Tìm giá trị nhỏ nhất của \[\left| z \right|,\]biết rằng z thỏa mãn điều kiện \[\left| {\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1} \right| = 1.\]
A.\(\sqrt 2 \)
B.0
C.−1
D.\(\sqrt 3 \)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Có\[\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i\]. Đặt\[z = x + yi\]thì
\[\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i\]
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành
\[{(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \frac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \frac{3}{5}y} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{1}{{10}}\]
Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.
Vì đường tròn này qua O nên min OM=0 khi \[M \equiv O\] hay M(0,0), do đó z=0 hay \[min\left| z \right| = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m\]
\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M\]
Suy ra
\[{M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2
A.\[16 + \sqrt {74} \]
B. \[2 + \sqrt {130} \]
C. \[4 + \sqrt {74} \]
D. \[4 + \sqrt {130} \]
Lời giải
Ta có\[|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.\]
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có
\[4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130} \]
\[ \Rightarrow |w| - \sqrt {130} \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130} \]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3
A.\[\frac{{\sqrt {221} }}{5}.\]
B. \[\sqrt 5 \]
C. 3
D. \[\frac{{\sqrt {29} }}{5}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]
B. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]
C. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]
D. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[\sqrt 5 - 1\]
B. \[1 - \sqrt 5 \]
C. \[\sqrt 5 + 1\]
D. \[\sqrt 5 + 2\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.z=1+i
B.z=3+i
C.z=3+3i
D.z=1+3i
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.2 và 5
B.1 và 6
C.2 và 6
D.1 và 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo