Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
A.\[\sqrt {110} \]
B. \[3\sqrt {10} \]
C. \[\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
D. \[\frac{{\sqrt {110} }}{5}\]
Quảng cáo
Trả lời:

+) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.
+) Tìm I: \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}\]
\[A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {0;21; - 19} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x_I} = - \frac{{2.3 + 0}}{6}}\\{1 - {y_I} = - \frac{{2.( - 1) + 20}}{6}}\\{1 - {z_I} = - \frac{{2.( - 2) + ( - 20)}}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;4; - 3)\)
+) Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}}\\{ = 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\\{ + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\end{array}\]
Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu (S).
\[\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right)\]=> Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng\[\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),t \in \left[ {0;1} \right]\]
Mặt khác\[M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{5}}\\{t = - \frac{1}{5}\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
B. \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.\]
C. \[\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 20.\]
D. \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5.\]
Lời giải
Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: \[d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\]
Vì tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.
Vậy phương trình cần tìm là
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A.\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.\]
B. \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.\]
C. \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.\]
D. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.\]
Lời giải
\[\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\] Lấy điểm\[M(1;0;2) \in d\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = ( - 2;2; - 2)}\\{R = d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 }\end{array}\]
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính \(\sqrt 2 \) là:
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A.I(1;−2;2),I(5;2;10)
B.I(1;−2;2),I(0;3;0)
C.I(5;2;10),I(0;−3;0)
D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]
B. Trục Ox
C.TrụcOy
D.Trục Oz
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 9\]
B. \[{(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\]
C. \[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64\]
D. \[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\]
B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\]
C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\]
D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
B. \[{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
C. \[{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
D. \[{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.