Câu hỏi:
30/06/2022 227Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
Quảng cáo
Trả lời:
+) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.
+) Tìm I: \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}\]
\[A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {0;21; - 19} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x_I} = - \frac{{2.3 + 0}}{6}}\\{1 - {y_I} = - \frac{{2.( - 1) + 20}}{6}}\\{1 - {z_I} = - \frac{{2.( - 2) + ( - 20)}}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;4; - 3)\)
+) Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}}\\{ = 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\\{ + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\end{array}\]
Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu (S).
\[\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right)\]=> Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng\[\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),t \in \left[ {0;1} \right]\]
Mặt khác\[M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{5}}\\{t = - \frac{1}{5}\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: \[d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\]
Vì tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.
Vậy phương trình cần tìm là
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
Đáp án cần chọn là: A
Lời giải
\[\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\] Lấy điểm\[M(1;0;2) \in d\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = ( - 2;2; - 2)}\\{R = d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 }\end{array}\]
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính \(\sqrt 2 \) là:
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.