Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

  • 566 lượt thi

  • 23 câu hỏi

  • 30 phút

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{(y + 1)}^2} + {z^2} = {R^2}}\\{x = t}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.\left( * \right)\)

(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {t^2} + 1 = {R^2}\]có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {R^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {R^2}}\\{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - {R^2} = 0\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - {R^2}) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \]

Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là\[10\sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ  có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:

Xem đáp án

\[A \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow A\left( {t;t;t} \right)\]

- ThayA(t;t;t) vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]ta có\[3{t^2} + 3t - 6 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\]ta có\[3{t^2} - 3 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\]ta có\[3{t^2} + 6t + 3 = 0\]

Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\]ta có \[3{t^2} - 9t + 6 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

Đáp án cần chọn là: C


Các bài thi hot trong chương:

0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận