Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \[(P):2x + 2y - z - 3 = 0\]và mặt cầu \[(S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \[\Delta \] là:
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 9t}\\{y = 1 + 9t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 - 3t}\end{array}} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Dễ thấy \[E \in \left( P \right)\]. Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.
Đường thẳng qua I vuông góc với (P): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\left( d \right)\)
Gọi H là hình chiếu của I lên (P)\[ \Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\]
Lại có\[H \in \left( P \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\frac{{23}}{9};\frac{{14}}{9};\frac{{47}}{9}} \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{{20}}{9}} \right) = \frac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \vec a}\end{array}\]
Để đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và vuông góc với HE.
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow a }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right]\)
\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = (9; - 9;0) = 9(1; - 1;0)\)
Vậy đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Đang tải chế độ Học...
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.\]
B. \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.\]
C. \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.\]
D. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\] Lấy điểm\[M(1;0;2) \in d\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = ( - 2;2; - 2)}\\{R = d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 }\end{array}\]
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính \(\sqrt 2 \) là:
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A.\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
B. \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.\]
C. \[\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 20.\]
D. \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: \[d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\]
Vì tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.
Vậy phương trình cần tìm là
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A.I(1;−2;2),I(5;2;10)
B.I(1;−2;2),I(0;3;0)
C.I(5;2;10),I(0;−3;0)
D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]
B. Trục Ox
C.TrụcOy
D.Trục Oz
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 9\]
B. \[{(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\]
C. \[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64\]
D. \[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\]
B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\]
C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\]
D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
B. \[{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
C. \[{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
D. \[{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập