Câu hỏi:

25/06/2022 1,028

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho \(SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi I là trung điểm BC; kẻ IH vuông góc SA \[(H \in SA).\]Khẳng định nào sau đây sai?

A.\[SA \bot BH.\]

B. \[\left( {SDB} \right) \bot \left( {SDC} \right).\]

C. \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).\]

D. \[BH \bot HC.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hai mặt phẳng vuông góc !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho (ảnh 1)

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên \[BC \bot AD.\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AD}\\{BC \bot SD}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAD) \Rightarrow BC \bot SA\)

Lại có theo giả thiết\[IH \bot SA\]Từ đó suy ra\[SA \bot \left( {HCB} \right) \Rightarrow SA \bot BH\]

⇒ Đáp án A đúng.

Tính được\[AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AD = 2AI = a\sqrt 3 ,S{A^2} = \sqrt {A{D^2} + S{D^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\]

Ta có\[{\rm{\Delta }}AHI \sim {\rm{\Delta }}ADS \Rightarrow \frac{{IH}}{{SD}} = \frac{{AI}}{{AS}} \Rightarrow IH = \frac{{AI.SD}}{{AS}} = \frac{a}{2} = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow \]Tam giác HBCHBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên \[\widehat {BHC} = {90^0}\] hay \[BH \bot HC\]. Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra \[BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \] mệnh đề C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Đáp án cần chọn là: B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?

A.\[BM \bot AC.\]

B. \[\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).\]

C. \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\]

D. \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).\]

Lời giải

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm \[AC\,\, \Rightarrow \,\,BM \bot AC.\]

⇒ Đáp án A đúng.

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BM \bot AC}\\{BM \bot SA(doSA \bot (ABC))}\end{array}} \right. \Rightarrow BM \bot (SAC)\\ \Rightarrow (SBM) \bot (SAC)\end{array}\)

⇒ Đáp án B đúng.

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot SA(doSA \bot (ABC))}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\end{array}\)

⇒ Đáp án C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(I):\[AI \bot SC\]
\[(II):(SBC) \bot (SAC)\]
\[\;(III):AI \bot BC\]
\[(IV):(ABI) \bot (SBC)\]

A.1

B.2

C.3

D.4

Lời giải

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên \[AI \bot SC\].

⇒ Mệnh đề (I) đúng.

Gọi H là trung điểm AC suy ra \[SH \bot AC\]. Mà \[(SAC) \bot (ABC)\] theo giao tuyến AC nên \[SH \bot (ABC)\] do đó \[SH \bot BC\]. Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên \[BC \bot AC\].

Từ đó suy ra \[BC \bot (SAC) \Rightarrow BC \bot AI.\]. Do đó mệnh đề (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có : \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AC}\\{BC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAC)\\BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAC)\end{array}\)

Vậy mệnh đề (II) đúng.