Câu hỏi:

25/06/2022 496

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2a,AD=DC=a; cạnh bên SA=a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.

A.\[S = \frac{{{a^2}}}{2}.\]

B. \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\]

C. \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\]

D. \[S = \frac{{{a^2}}}{4}.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hai mặt phẳng vuông góc !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2a,AD=DC=a; cạnh bên SA=a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm AB.

Suy ra AECD là hình vuông nên \[DE \bot AC\]. (1)

Mặt khác\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DE\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra\[DE \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SDE} \right) \bot \left( {SAC} \right)\]

Ta có\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(SDE) \supset SD}\\{(SDE) \bot (SAC)}\end{array}} \right\} \Rightarrow (\alpha ) \equiv (SDE)\)

Vậy thiết diện là tam giác SDE

Ta có\[SD = \sqrt {S{A^2} + D{A^2}} = a\sqrt 2 ;SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = a\sqrt 2 \]

\[DE = AC = DC\sqrt 2 = a\sqrt 2 \]

Do đó tam giác SDE đều có cạnh\[a\sqrt 2 \] nên \[{S_{{\rm{\Delta }}{\kern 1pt} SDE}} = \frac{{S{D^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?

A.\[BM \bot AC.\]

B. \[\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).\]

C. \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\]

D. \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).\]

Lời giải

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm \[AC\,\, \Rightarrow \,\,BM \bot AC.\]

⇒ Đáp án A đúng.

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BM \bot AC}\\{BM \bot SA(doSA \bot (ABC))}\end{array}} \right. \Rightarrow BM \bot (SAC)\\ \Rightarrow (SBM) \bot (SAC)\end{array}\)

⇒ Đáp án B đúng.

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot SA(doSA \bot (ABC))}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\end{array}\)

⇒ Đáp án C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(I):\[AI \bot SC\]
\[(II):(SBC) \bot (SAC)\]
\[\;(III):AI \bot BC\]
\[(IV):(ABI) \bot (SBC)\]

A.1

B.2

C.3

D.4

Lời giải

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên \[AI \bot SC\].

⇒ Mệnh đề (I) đúng.

Gọi H là trung điểm AC suy ra \[SH \bot AC\]. Mà \[(SAC) \bot (ABC)\] theo giao tuyến AC nên \[SH \bot (ABC)\] do đó \[SH \bot BC\]. Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên \[BC \bot AC\].

Từ đó suy ra \[BC \bot (SAC) \Rightarrow BC \bot AI.\]. Do đó mệnh đề (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có : \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AC}\\{BC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAC)\\BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAC)\end{array}\)

Vậy mệnh đề (II) đúng.