Câu hỏi:
28/06/2022 322Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình \[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\] khi quanh trục Ox..
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Xét\[\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\] có tâm\[I\left( {0;2} \right),\] bán kính\[R = 1.\] Như vậy
Nửa (C) trên ứng với \[2 \le y \le 3\] có phương trình\[y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} \] với\[x \in \left[ { - \,1;1} \right].\]
Nửa (C) dưới ứng với\[1 \le y \le 2\] có phương trình\[y = {f_2}\left( x \right) = 2 - \sqrt {1 - {x^2}} \] với\[x \in \left[ { - \,1;1} \right].\]
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là
\[V = \pi \mathop \smallint \limits_{ - {\kern 1pt} 1}^1 \left[ {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} \right]\,{\rm{d}}x = 8\pi \mathop \smallint \limits_{ - {\kern 1pt} 1}^1 \sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x.\]
Đặt\[x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t\] và đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{2}}\\{x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[\;V = 8\pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {co{s^2}t} } .costdt = 4\pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 + cos2t)dt = 4\pi \left( {t + \frac{1}{2}sin2t} \right)} \left| {_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 4{\pi ^2}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:
Câu 2:
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {2 - x} ;y = x\] xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?
Câu 3:
Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol \[(P):y = {x^2} - ax(a > 0)\;\]bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
Câu 4:
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1;x = 0\] và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 1\;\] tại điểm A(1;2) quanh trục Ox là
Câu 5:
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x ,y = 0\;\] và x=4 quanh trục Ox . Đường thẳng \[x = a(0 < a < 4)\;\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \;\] tại M (hình vẽ bên).
Câu 6:
Gọi (D1) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2\sqrt x ,y = 0\;{\rm{ }}v\`a \;x = 2020,\], (D2) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {3x} ,y = 0\] và \[x = 2020.\]. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D1) và (D2) xung quanh trục Ox. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
Câu 7:
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]quay quanh Oy?
Gọi 084 283 45 85
Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack
về câu hỏi!