Câu hỏi:
30/06/2022 253Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng (P):2x−y+2z−8=0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + 3M{B^2}\;\]bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \[2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \vec 0\]
\[ \Rightarrow 2(2 - a; - 2 - b;4 - c) + 3( - 3 - a;3 - b; - 1 - c) = \overrightarrow 0 \]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - 2a - 9 - 3a = 0}\\{ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0}\\{8 - 2c - 3 - 3c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a - 5 = 0}\\{ - 5b + 5 = 0}\\{ - 5c + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\\{c = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I( - 1;1;1)\)
Ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{{\overrightarrow {MA} }^2} + 3{{\overrightarrow {MB} }^2}}\\{ = 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2}}\\{ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)}\end{array}\]
Do I, A, B cố định nên\[2I{A^2} + 3I{B^2} = const\]
\[ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }\]⇔ M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của
\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
M là hình chiếu của I lên (P) \[ \Rightarrow M \in \left( {\rm{\Delta }} \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\]
Lại có\[M \in \left( P \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)}\end{array}\]
Khi đó ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13}\\{ \Rightarrow {{\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)}_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\].
Ta có: \[{\rm{\Delta }}:\,\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\] và M(2;0;1)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với\[{\rm{\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right).\]
\[ \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,x - 2 + 2y + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.\]
Bước 2: Tìm tọa độ điểm\[H = \left( P \right) \cap {\rm{\Delta }}\] khi đó H là trung điểm của MM′, từ đó tìm tọa độ điểm M′.
Gọi H là giao điểm của (P) và \[{\rm{\Delta }}\]
⇒ Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}}\\{x + 2y + z - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{x + 2y + z - 3 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{t - 4 + 4t + 1 + t - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\\{t = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 0}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow H(1;0;2)\)
Ta có: M′ là điểm đối xứng của M qua \[{\rm{\Delta }}\] ⇒H là trung điểm của MM′ ⇒M′(0;0;3)
Bước 3: Khoảng cách từ \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\]đến mặt phẳng (P)
Ta có: (Oxy):z=0.
\[ \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{1} = 3.\]
Lời giải
Bước 1: Gọi\[A = d \cap Oxy \Rightarrow \] Tìm tọa độ điểm AA.
Mặt phẳng Oxy có phương trình z=0.
Gọi \[A = d \cap Oxy \Rightarrow \] Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 0}\\{z = t}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow A(2;0;0)\)
Bước 2: Lấy điểm B bất kì thuộc d. Gọi B′ là điểm đối xứng với B qua Oxy⇒ Tìm tọa độ điểm B′.
Lấy \[B\left( {0;0;1} \right) \in d\] Gọi B′ là điểm đối xứng với B qua \[Oxy \Rightarrow B'\left( {0;0; - 1} \right)\].
Bước 3: d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng Oxy ⇒d′ đi qua A,B′. Viết phương trình đường thẳng d′.
d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng Oxy ⇒d′ đi qua A,B′.
⇒d′ nhận\[\overrightarrow {AB'} = \left( { - 2;0; - 1} \right)//\left( {2;0;1} \right)\] là 1 VTCP ⇒\(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow a = 2,b = 2,c = 0\)
\( \Rightarrow a + b + c = 2 + 2 + 0 = 4\)Câu 28. Trong không gian Oxyz, gọi d′ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trên mặt phẳng (Oxy). Phương trình tham số của đường thẳng d′ là
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
Bước 1:
Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\) đi qua hai điểm O(0;0;0) và A(1;1;1).
Bước 2:
Hình chiếu của điểm O,A trên (Oxy) lần lượt là O(0;0;0) và A′(1;1;0).
Bước 3:
Khi đó hình chiếu của d là đường thẳng d′d′ đi qua O,A′, nhận \[\overrightarrow {OA'} = \left( {1;1;0} \right)\]là 1 VTCP nên có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận