10 Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n + 1} > u_n,  "nÎ ℕ^*.

Đáp án đúng là: C

+) $u_{n+1}–u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n\left(n+1\right)}$ < 0  "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy số có tính giảm Þ C đúng, B sai.

+) u₁ = 1 Þ D sai.

+) u₇ = $\frac{1}{7}$  Þ A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 – u_n = (n + 1)! – n! = (n + 1 – 1). n! = n.n! > 0  "nÎ ℕ^*.

Do đó dãy số có tính tăng.

Þ D đúng, A sai.

u₂ = 2! Þ B sai.

u₁₀ = 10! > 20 Þ C sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta luôn có: u_n > 0  "nÎ ℕ^*.

• $u_n^2=2n+5$

• $u_{n+1}^2=2\left(n+1\right)+5=2n+7=u_n^2+2$

Do đó $u_{n+1}^2>u_n^2$ .

Ta luôn có: u_n > 0  "nÎ ℕ^*.

Nên u_n+1 > u_n Þ Dãy có tính tăng Þ D đúng, C sai.

•  $u_3=\sqrt{2.3+5}=\sqrt{11}$Þ A sai.

• $u_2=\sqrt{2.2+5}=3$  Þ B sai.

Đáp án đúng là: A.

• Xét dãy số: u_n = 2n + 1

u_{n + 1} – u_n = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính tăng Þ A đúng.

• Xét dãy số: u_n = 5 – 4n

u_{n + 1} – u_n = 5 – 4(n + 1) – (5 – 4n) = – 4 < 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính giảm Þ B sai.

• Xét dãy số: u_n = n² – n

u_{n + 1} – u_n = – (n + 1)² + (n + 1) – (– n² + n) = – 2n < 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính giảm Þ C sai.

• Xét dãy số: u_n = (–2)ⁿ

Có: u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –8; …

Þ Dãy không có tính tăng Þ D sai.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $f\left(n\right)=\frac{1}{2n+3}$  là hàm số nghịch biến trên ℕ^*.

Suy ra u_n+1 < u_n "nÎ ℕ^* Þ Dãy số có tính giảm.

Þ C đúng.