Bài tập về số nguyên tố - tổ hợp số

  • 925 lượt xem

  • 45 câu hỏi



Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tìm các ước nguyên tố của các số 30, 210, 2310

Xem đáp án »

Phân tích các số đó cho thành tích các thừa số nguyên tố

Ta có:

-                     Ước nguyên tố(30) = {1, 2, 3, 5}

  Và 30 = 1.2.3.5

-                     Ước nguyên tố(210) = {1, 2, 3, 5,7}

  Và 210 = 1.2.3.5.7

-                     Ước nguyên tố(2310) = {1, 2, 3, 5, 7, 11}

  Và 30 = 1.2.3.5.7.11

Chỳ ý:  Khi phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau :

210 = 21.10 . Ta đó biết 10 = 2.5 nên chỉ cần phân tích  21  = 3.7 và có

210 = 2.7.2.5

   Cách này hoàn toàn có lợi khi phân tích các số là bội của 10

Chẳng hạn khi phân tích số 3200 ta viết

3200 = 32.100 cho ta 32 = 25  100 = 22.52

Vậy 3200 = 27.52


Câu 2:

Chứng tỏ rằng các số 31, 211, 3201, 10031 là các số nguyên tố

Xem đáp án »

Dể thấy 31 = 30 + 1

                       = 1.2.3.5 + 1

Số 31 không chia hết các số nguyên tố 2, 3, 5 ma 52 = 25 < 35 là ước nguyên tố lớn nhất mà 52 < 31

Suy ra 31 là số nguyên tố

Các số khác ta củng chứng minh tương tự.


Câu 3:

Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.

Xem đáp án »

Ta có: 

Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5

              = 23.32.5


Câu 4:

Số 360 có bao nhiêu ước.

Xem đáp án »

Ta có  360  = 23.32.5

Vậy số các ước của 360 là

(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước


Câu 5:

Tìm tất cả các ước của 360.

Xem đáp án »

Dể thấy các số 1,  2,  22,  23,                (1) là ước của 360

Ta Tìm các ước còn lại theo cách sau

Bước 1: Nhân các số hạng dãy (1) theo thứ tự với 3 và 32 ta được các ước

Bước 2: Nhân các số trong dãy (1) và (2) theo thứ tự với 5 ta đước các ước

Vậy ta có tất cả 24 ước của 360 là


Câu 6:

Tìm số nhỏ nhất A có : 6 ước 

Xem đáp án »

Viết A dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố

A = ambnct....

Số các ước của A sẻ là (m + 1)(n + 1)(t + 1)…

Ta có 6 = 6.1  hoặc 6 = 2.3

-  Trường hợp A chỉ có một số nguyên tố dạng A = am thì

   

Vì A là số nhỏ nhất hay a = 2. Suy ra

  

-  Trương hợp A có hai thừa số nguyên tố A = ambn

Ta có

Và A = a2b1

Để có số A nhỏ nhất ta chọn các số nguyên tố nhỏ nhất là a = 2, b = 3

Vậy A = 22.3 hay A = 12

Xét 2 trường hợp trên ta thấy số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là 12


Câu 7:

Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số

1.676767

2.108 + 107 + 7

3. 175 + 244 + 1321

Xem đáp án »

1.  Số 676767 có tổng các chử số là 39 chia hết cho 3 nên  676767 : 3

Vậy nó là hợp số

2. Tương tự số 108 + 107 + 7 có tổng chia hết cho 9 nên

 108 + 107 + 7 : 9 là hợp số

3. Số  175 + 244 + 1321  có:

Số  175 có tận cùng là 7

Số   244 có tận cung là 6

Số   1321  có tận cùng là 3

Vậy 108 + 107 + 7  có tận cùng là 0, chia hết cho 10 nên nó là hợp số.


Câu 8:

Các số sau là nguyên tố hay hợp số

A = 11…1 (2001 chử số 1)

2.B = 11…1 (2000 chử số 1)

3.C = 1010101

4.D = 1112111

5.E = 1! + 2! + 3! +…+ 100!

6.G = 3.5.7.9 – 28

7.H = 311141111

Xem đáp án »

1.  A3. Hợp số

2.  B11. Hợp số

3.  C 101. Hợp số

4.  D = 1112111 = 1111000 + 1111

D 1111 . Hợp số

5   E = 1! + 2! + 3! + … + 100!

Suy ra E3. Vậy E là hợp số

6. G chia hết cho 7.G là hợp số

7. H = 311141111 = 31111000 + 31111

H31111. Vậy H là hợp số.


Câu 9:

Cho 3 số a = 720, b = 36, c = 54

1.  A, B, C theo thứ tự là tập hợp các ước nguyên tố của a, b, c. Chứng tỏ B, C là tập con của A

2.a có chia hết cho b, có chia hếtt cho c không

Xem đáp án »

Ta thấy   a = 720 = 24.32.5

b = 36 =  22.32

c = 54 = 2.33

vậy A = {2, 3, 5},    B = {2, 3},    C = {2, 3}

Dễ thấy B, C là hai tập con của A

2. Vì  a  = 24.32.5 và b =  22.32 nên a  b

      a  = 24.32.5 và c  = 2.33  nên a không chia hết cho c


Câu 10:

Đố vui: Ngày sinh nhật của bạn

Một ngày đầu năm 2002. Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long và nhận được thư trả lời.

Mình sinh ngay a tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi . Biết rằng a.b.c.d = 59007

Huy đã kịp tính ra ngày sinh của Long và kịp viết thư sinh nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày nào?

Xem đáp án »

Ta có:

 a.b.c.d = 59007

c +d = 102

Phân tích ra thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89

Trông các ước của abcd chỉ có hai số 13 và 89 có tổng bằng 102. Tuổi của Long không thể là 89 vậy d = 13, c = 89

Còn lại  a.b = 3.17 do b 12  nên b = 3, a = 17

Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989 .


Câu 11:

Chứng minh rằng:

1.Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n± 1

2. Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n ± 1

Xem đáp án »

1. Khi chia một số tự nhiên A lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư 0, 1, 2, 3 . Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thì A là hợp số, ta không xột chỉ xột trường hợp số dư là 1 hoặc 3

  Với mọi trường hợp số dư là 1 ta có  A = 4n ± 1

  Với trường hợp số dư là 3 ta có A = 6n ± 1

Ta có thể viết  A = 4m + 4 – 1

                           =  4(m + 1) – 1

Đặt  m + 1 = n, ta có  A = 4n – 1

2.     Khi chia số tự nhiên A cho 6 ta có các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trường hợp số dư 0, 2, 3, 4. Ta có A chia hết cho 2 hoặc A chia hết cho 3 nên A là hợp số

Trường hợp dư 1 thì  A = 6n + 1

Trường hợp dư 5 thì   A = 6m + 5    

                                       = 6m + 6 – 1

                                       6(m + 1 ) – 1

Đặt m + 1 = n     Ta có  A = 6n – 1


Câu 12:

Phân tích A = 26406 ra thừa số nguyên tố. A có chia hết các số sau hay không 21, 60, 91, 140, 150, 270

Xem đáp án »

Ta có  A = 26460 = 22.33.5.72

Ta củng có  

21 = 3.7

60 = 22.3.5

91 = 7.13

140 = 22.5.7

150 = 2.3.52

270 = 2.33.5

Vậy

 A chia hết cho 21, 60, 140

A không chia hếtt cho 91, 150, 270.


Câu 13:

Chứng tỏ rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết cho 6.

Xem đáp án »

Chỳ ý rằng , các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẽ

- Nếu n lẽ thì  n + a là số chẵn là một hợp số trỏi với giả thiết n + a là số nguyên tố. vậy n là số chẳn

-  Ta dặt n = 2k, k  N*

+   Nếu  k chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6

+   Nếu k = 3p + 1 , p  N* thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p + 2,

a + 12p + 4

+  Do a là số lẽ nên nếu a chia cho 3 dư 1 thì  a + 6p + 2 chia hết cho 3,

 Nếu a chia 3 dư 2 thì a + 12p + 4 chia hết cho 3

+  Nếu k = 3p + 2  p  N* thì 3 số theo thứ tự bằng

a + 6p +4, a + 12p +8

với a chia cho 3 dư 1 thì  a + 12p +8  chia hết cho 3

với a chia cho 3 dư 2 thì  a + 6p +4  chia hếtt cho 3

Vậy để 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố thì n phải chia hết cho 6.


Câu 14:

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24

Xem đáp án »

Ta có p-1pp+1  3   mà (p, 3) = 1 nên

           p-1p+1  3                    (1)

 p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẽ, p – 1 và p + 1 là hai số chẳn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8  (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho 2 nguyên tố cùng nhau là 3 và 8

Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.


Câu 15:

Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng

nn+1n+26 +1     n1

Xem đáp án »

Ta có

Với n  4 thì n + 3 > 6 và n2 + 2 > 17. Trong hai số n + 3 và n2 + 2 hoặc có một số chia hết cho 6 hoặc một số chia hết cho 2, và một số chia hết cho 3 thì p sẽ là hợp số

    Thực vậy :

-                     Với n = 3k thì (n + 3)(n2 + 2) = 27k2(k + 1) + 6(k + 1)  6

-                     Với n = 3k + 1 thì  (n + 3)(n2 + 2) = 27k3 + 54k2 + 33k 12

                                                            = BC 6 + 3k(k2 + 1)

-    Với n = 3k – 1 thì  (n + 3)(n2 + 2) = BC 6 + 3k(k2 + 1)

Mà 3k(k2 + 1)  6 nên với mọi n  1 thì p đều là hợp số

Còn lại    

n = 1 thì p = 2

n = 2 thì p = 5

n = 3 thì p = 11

Đó là các số nguyên tố p cầc tìm.


Câu 16:

Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau củng là số nguyên tố

1.p + 10, p + 14

2.p + 2, p + 6, p + 8 , p + 12, p + 14

Xem đáp án »

1. Vì p là số nguyên tố và p + 10 và p + 14 còng là số nguyên tố nên p > 2 .Mặt khỏc p có thể rơi vào một trong 3 khả năng hoặc p = 3k , p = 3k + 1, p = 3k – 1

-  Với p = 3k + 1 thì

        p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5 )  3

-   Với p = 3k – 1 thì

        p + 10 = 3k + 9 = 3 (k + 3) 3

  Vậy p = 3k . Do p là nguyên tố nên p = 3

2. Xét các trường hợp sau.

-  Với p = 5 thì        

p + 2 = 7

 p + 6 =  11

p + 8 =  13

p + 12 =  17

p + 14 =  19

-  Với p > 5 thì p = 5k +1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k +4

+  Nếu  p= 5k +1 thì p + 14 = 5k + 15 5

+  Nếu p = 5k + 2 thì  p + 8 = 5k + 10 5

+  Nếu  p = 5k + 3  thì  p + 12 = 5k + 15 5

+  Nếu  p = 5k +4   thì  p + 6 = 5k + 10  5

Suy ra nguyên tố cần Tìm là p = 5.


Câu 17:

Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai sô nguyên tố lẽ liên tiếp ( p > 3). Chứng minh rằng một số tự nhiên  nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.

Xem đáp án »

Gọi hai số nguyên tố sinh đội là p và p + 2. Vậy số tự nhiên nằm giữa chúng là p + 1

-p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ vậy p + 1 là số chẳn

 p + 1 2 (1)

-    p, p + 1, p + 2 là 3 số  nguyên liờn tiếp nên có một số chia hết cho 3. Mà p và p +2 là số nguyên tố nên không chia hếtt cho 3 ,vậy

 p + 13  (2)

Từ (1) và (2) : (2, 3) = 1 suy ra  p + 1 6 (đpcm)

Bài toỏn có thể mở rụng thành :

Chứng minh rằng và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng

Của chúng chia hết cho 12.


Câu 18:

Một số nguyên tốp chia hêt cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r

Xem đáp án »

Ta có p =42k + r = 2.3.7.k + r  k; r  N ; 0 <r < 42

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 7

Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 29

Loại đi các sô chia hết cho 3, cho 7 chỉ con 25

   Vậy r = 25.


Câu 19:

Điền  các chử số thích hợp trong phép phân tích ra thừa số nguyên tố

Xem đáp án »

 

Ta có:

Suy ra n = 2 do đo e = 5, c = 3

Vì   fcga ¯.5= abcd¯ nên f = 1

Vậy 

 

Ta được

 

 


Câu 20:

Tìm số tự nhiên có 4 chử số, chứ số hàng nghìn bằng chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm bằng chử số hàng chục và số đố viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp.

Xem đáp án »

Gọi số tự nhiên cần Tìm là n, theo đề bài chử số hàng nghin bằng chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm bằng chử số hàng chục vậy n có dạng abba¯

   Có abba¯11  mà  abba¯  là tích của 3 số nguyên tố liờn tiếp  nên một trụng các số nguyên tố này phải là 11

Xột các tích

5.7.11 = 385 (loại)

1.11.13    = 1001 (đúng)

11.13.17 = 2431 (loại)

Vậy số tự nhiên cần Tìm là 1001


Câu 21:

Chứng minh rằng nếu  2n – 1 là số nguyên tố  (n > 2) thì  2n + 1  là hợp số.

Xem đáp án »

Xột số   A = (2n – 1)2n(2n + 1)

A là tích của 3 số tự nhiên liờn tiệp nên A  3 

Mặt khỏc 2n – 1 là số nguyên tố   ( theo giả thiết )

                2n  không chia hết cho 3

Vậy 2n + 1 phải chia hết cho 3  2n + 1 là hợp số.


Câu 22:

Tìm số tự nhiên k để dãy k + 1, k + 2,…,k + 10  chứa nhiều số nguyên tố nhất .

Xem đáp án »

Với k = 0  ta có dãy 1, 2, 3,…,10 chứa 4 số nguyên tố 2, 3, 5, 7

Với k = 1 ta có dãy 2, 3, 4,…, 11 chứa 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11

Với k = 2 ta có dãy 3, 4, 5,…, 12  chứa 4 số nguyên tố là 3, 5, 7, 11

Với  k 3  dãy k + 1, k + 2,…,k + 10  chứa 5 số lẽ liờn tiếp, dãy số này đều lớn hơn 3 nên có một số chia hết cho 3, trong dãy có 5 số chẵn hiễn nhiên không phải là số nguyên tố nếu  k 3

Vậy k = 1 thì dãy k + 1, k + 2,…,k + 10  chứa nhiều số nguyên tố nhất.


Câu 23:

1.Chứng minh rắng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả  ra sao

2. Chứng minh rằng nếu tổng của n luỹ thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5  là một số nguyên tố thì (n, 30) = 1

Xem đáp án »

1.Giả sử p là số nguyên tố và p = 30k + r (0 < r < 30)

Nếu r là hợp số thì r co ước nguyên tố q 30 q = 2, 3, 5

Nhưng với q = 3, 3, 5 thì p lần lượt chia hết cho 2, 3, 5  vô lí . Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố.

Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa

 Chẳng hạn p = 109 = 60.1 + 49       ( 49 là hợp số )

2. Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Với r = 1, 11, 19, 29 thì p2  1 (mod 30 )

Với r = 7, 13, 17, 23 thì  p2  19  (mod 30 )

Suy ra  p4   1  (mod 30 )

Giả sử p1, p2,…, pn   là các số nguyen tố lớn hơn 5

Khi đó

   (mod 30)

Suy ra p = 30k + n là số nguyên tố nên (n, 30 ) = 1


Câu 24:

Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p + p2 còng là số nguyên tố

Xem đáp án »

Với p = 2 ta co  2p + p2 = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2p + p2 = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + 1 )

Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p2 – 1 chia hết cho 3 và 2p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2p + p2  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2p + p2  là số nguyên tố.


Câu 25:

Tìm Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca

Xem đáp án »

Vì a, b, c có vai trũ như nhau nên giả sử a b c khi đó

 ( Vì a là số nguyên tố )

Với a = 2 ta có

-    Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c  thoả món với c là nguyên tố bất kỡ

-  Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5

Vậy các cạp số (a, b, c) càn Tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , với p là số nguyên tố .


Câu 26:

Tìm  n  N* sao cho : n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố

Xem đáp án »

Ta có :

Nếu n = 1 suy ra A = 0

Nếu n = 2 suy ra A = 5 là số nguyên tố

Nếu n>2 thì A là tích của hai thừa số mà mỗi thừa số đều lớn hơn hai . Vậy A là hợp số

Vậy để A = n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố thì n = 2.


Câu 27:

Tìm 2 số tự nhiên , sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố 

Xem đáp án »

Tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số là 1 , số còn lại kớ hiệu là a là số nguyên tố

Theo đề bài 1 + a củng là số nguyên tố. Xét hai trường hợp:

-  Nếu 1 + a là số lẽ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên a =2

-   Nếu 1 + a la số chẵn thì 1 + a = 2 Vì  1 + a là số nguyên tụ . Khi đó a= 1 không là số nguyên tố ( loại )

Vậy hai số tự nhiên phải Tìm 1 và 2


Câu 28:

Tìm các số nguyên tố a, b, c thoả mãm điều kiện abc = 3(a + b + c)

Xem đáp án »

Từ abc = 3(a + b + c)  suy ra a chia hết cho 3 hoạc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3. Vậy

Do b và c là các sốnguyên tố  b - 1 1; c -1 1   và b – 1 , c – 1 là ước của 4 vậy chúng nhận 1 trông các giá trị là 1, 2, 4. Vậy ta có các trường hợp sau:

Các cặp số (a, b, c) phải Tìm là : (3, 3, 3) ; (3, 2, 5) ; (3, 5, 2) ; (5, 3, 2 ) ; (5, 2, 3) ; (2, 3, 5) ; (2, 5, 3)


Câu 29:

1. Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a + 1 là lập phương của một số nguyên tố

2.Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên

Xem đáp án »

1.Với  a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp

Với a 2 do a là số nguyên tố nên a lẽ

Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là

Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a

-Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)3 suy ra a = 13 thớch hợp

-   Nếu a = k từ a = a(4a2 + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra

 1 = 4a2 + 6a + 3  không có số nguyên tố a nào thoả món phương trỡnh này  Vì vế phải luụn lớn hơn 1

Vậy a = 13

2.Giả sử  

13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n2 + n + 1 > 1

Nên n – 1 = 13 hoặc  n – 1 = p

-    Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n3 – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố

- Với n – 1 = p thi n2 + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố

 Vậy  p = 2, p = 211 thì 13p + 1  là lập phương của một số tự nhiên


Câu 30:

Tìm tất cả các số có hai chử số ab¯  sao cho aba-b là số nguyên tố?

Xem đáp án »

Vì a, b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b

Giả sử aba-b= p , với p là số nguyên tố

Suy ra

 

Ta có :

-  Với p = 2 ta có

 

-  Với p = 3 ta có

           

-    Với p = 5 hoặc p = 7 ta có a có hai chử số  (loại)

Vậy các số  ab¯ cần Tìm là 21, 12, 62, 26


Câu 31:

Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn  xy + 1 = z

Xem đáp án »

Vì x, y là các số nguyên tố nên x 2; y2 z5  vậy z là số nguyên tố lẽ

xy +1 = z xy= z-1

Suy ra xy là số chẵn vậy x = 2 khi đó  z = 2y + 1

Nếu y lẽ thì 2y2 (mod 3)

2y+1  3z3(vụ lớ Vì z là nguyên tố )

Vậy y chẵn , suy ra y = z

z = 22 + 1 = 5

Vậy các số nguyên tố cần tìm là x = y = z , z = 5


Câu 32:

Cho n  N* , chứng minh  A = n4 + 4n và hợp số với n > 1

Xem đáp án »

Xét các trường hợp chẵn

-   n chẵn thì A chia hết cho 2

-  n lẽ đặt n = 2k + 1 k N*  .

Ta có   

A phân tích được tích của 2 thừa số vậy A là hợp số .


Câu 33:

Tìm  n  N* để

1.n4 + 4 là số nguyên tố.

2.n2003 + n2002 + 1 la số nguyên tố

Xem đáp án »

1.Ta có

   n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2

             = (n2 + 2 )2 – (2n)2

            = (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)

Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên  n2 + 2 – 2n = 1 hoặc  n2 + 2 + 2n = 1

   n2 + 2 + 2n > 1 vậy  n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n4 + 4  là số nguyên tố./

2.Ta có :

n2003 + n2002 + 1 = n2(n2001 – 1) + n(n2001 – 1) + n2 + n + 1

Với n > 1 ta có :

Do đó  

 Mà n2 + n + 1 > 1 nên  n2003 + n2002 + 1  là hợp số

Với n = 1 ta có

       n2003 + n2002 + 1 = 12003 + 12002 + 1 = 3 là số nguyên tố .


Câu 34:

Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau Tìm được một số là số nguyên tố.

Xem đáp án »

Giả sử n1, n2, …n15 là các số thoả món yờu cầu bài toỏn. Giả sử tất cả chỳng là hợp số. Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni (i = 1, 2, …, 15).

Gọi p là số lớn nhất trong các số  p1, p2, …,p15

Do các số n1, n2, …n15  là đôi nguyên tố cùng nhau nên các số  p1, p2, …,p15  khỏc nhau tất cả.

Số nguyên tố thứ 15 là số 47 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ) ta có p47 . Đối  với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì pn  suy ra  np2 472>2004 (vụ lớ)

Vậy trong 15 số  n1, n2, …n15  ta Tìm được một số nguyên tố.


Câu 35:

Tìm số nguyên tố  abcd sao cho ab, ac là số nguyên tố và  b2=cd+b-c

Xem đáp án »

 abcd¯ ; ab ¯; ac¯  là số nguyên tố nên là số lẽ hay b, c, d, lẽ và khỏc 5 . Ta có:

Suy ra b = 7 hoặc b = 9

-    Với b = 7 . Ta có : 

9c + d = 42d3  suy ra d = 3 hoặc d = 9

+ Nếu d = 3 thì c=399N  (loại)

+ Nếu d = 9 thì c=339N   (loại)

-  Với b = 9 thì 9c + d=72 d=9; d=7  

a9¯ a7¯  là số nguyên tố thì a = 1

Vậy số abcd¯=1979  thoả mãn yêu cầu bài toán


Câu 41:

Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẳn hay số lẻ.

Xem đáp án »

Trong 25 số nguyên tố (từ 2 đến 97) có một số chẳn duy nhất, còn 24 số kia là số lẻ. Do đú tổng của 25 số là số chẳn.


Câu 42:

Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó.

Xem đáp án »

Trong 3 số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẳn, là số 2, đú là số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trờn.


Câu 44:

Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không.

Xem đáp án »

Tổng của hai số nguyên tố bằng 2003 là số lẻ, nên một trong hai số phải là 2. khi đó số kia là 2001 là hợp số. Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.


Câu 45:

Tìm số nguyên tố có 3 chữ số , biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên

Xem đáp án »

Một số có 3 chử số là lập phương của một số tự nhiên, đó là 125, 126, 343, 512, 729 chỉ có số 125 thoả mãn bài tóan (521 là số nguyên tố)


Đánh giá

0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận