10 Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng (có lời giải)

53 người thi tuần này 4.6 858 lượt thi 10 câu hỏi 45 phút

Đề số 1

🔥 Học sinh cũng đã học

35 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

134 lượt thi 21 câu hỏi

24 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

123 lượt thi 21 câu hỏi

40 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

139 lượt thi 22 câu hỏi

69 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

1.6 K lượt thi 20 câu hỏi

60 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức cộng xác suất lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

2.4 K lượt thi 20 câu hỏi

216 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

3 K lượt thi 21 câu hỏi

97 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 0123

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề chẵn

2.8 K lượt thi 21 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/10

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), DABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{\sqrt{57} a}{3}$

B. $\frac{2 \sqrt{57} a}{19}$

C. $\frac{2 \sqrt{57} a}{3}$

D. $\frac{\sqrt{57} a}{12}$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Vì DABC đều nên AM ^ BC và $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC nên BC ^ (SAM) ⇒ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SM do đó AH ^ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.

Xét DSAM vuông tại A, có

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a \sqrt{57}}{19} .

Câu 2/10

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với $B C = a \sqrt{2}, \hat{A B C} = 60 °$ . Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $a \sqrt{2}$

D. $\frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC= acăn 2, góc ABC= 60 độ (ảnh 1)

Dựng SH ^ AB. Do (SAB) ^ (ABCD) và (SAB) Ç (ABCD) = AB nên SH ^ (ABCD).

Dựng CK ^ AB.

Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.

Xét DCKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = $a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Câu 3/10

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.

Vì DBCD, DACD đều nên BM ^ CD, AM ^ CD.

Do đó CD ^ (ABM) ⇒ CD ^ AH.

Vì AH ^ BM và AH ^ CD nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của DBCD.

Vì DBCD, DACD đều cạnh a nên $B M = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $H M = \frac{1}{3} B M = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xét DAHM vuông tại H, có $A H = \sqrt{A M^{2} - H M^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{12}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 4/10

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = a, AC = b, AD = c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$

B. $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}$

C. $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = a, AC = b, AD = c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng (ảnh 1)

Kẻ AK ^ BC (K Î BC) và AH ^ DK (H Î DK)

Vì AD ^ AB, AD ^ AC nên AD ^ (ABC) ⇒ AD ^ BC.

Mà AK ^ BC. Do đó BC ^ (ADK) ⇒ BC ^ AH mà AH ^ DK nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Xét DABC vuông tại A có: $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} .$

Xét DADK vuông tại A có: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A K^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} .$

Vậy $d (A, (B C D)) = A H = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} .$

Câu 5/10

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2HB. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (B'AC) bằng

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B' (ảnh 1)

Xét DABC vuông tại A, có $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 3 a \sqrt{2} \Rightarrow B H = a \sqrt{2}$ .

Xét DB'HB vuông tại H, có $B^{'} H = \sqrt{B {B^{'}}^{2} - B H^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 2 a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Kẻ HE ^ AC tại E, HF ^ B'E tại F.

Vì B'H ^ (ABC) ⇒ B'H ^ AC mà AC ^ HE nên AC ^ (B'HE) ⇒ AC ^ HF.

Mà HF ^ B'E nên HF ^ (B'AC).

Do đó d(H, (B'AC)) = HF.

Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên $\frac{H E}{A B} = \frac{C H}{C B} = \frac{2}{3} \Rightarrow H E = 2 a$ .

Xét DB'HE vuông tại H, có $\frac{1}{H F^{2}} = \frac{1}{B^{'} H^{2}} + \frac{1}{H E^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}} \Rightarrow H F = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Mặt khác

\frac{d (B, (B^{'} A C))}{d (H, (B^{'} A C))} = \frac{B C}{H C} = \frac{3}{2} .

Do đó

d (B, (B^{'} A C)) = \frac{3}{2} . H F = a \sqrt{3} .

Câu 6/10

Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

A. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC. (ảnh 1)

Kẻ OH ^ SC ⇒ d(O, SC) = OH.

Xét DABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên $O A = O C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSAC vuông tại A, có $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{6}$ .

Vì DCHO đồng dạng với DCAS nên

\frac{O H}{O C} = \frac{S A}{S C} \Rightarrow O H = \frac{O C . S A}{S C} = \frac{a \sqrt{2} .2 a}{2 a \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Câu 7/10

Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a², BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a;

B. 4a;

C. 3a;

D. 5a.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/10

Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ^ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $A C = a \sqrt{2}$ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

A. $a \sqrt{\frac{7}{5}}$

B. $a \sqrt{\frac{4}{7}}$

C. $a \sqrt{\frac{6}{11}}$

D. $a \sqrt{\frac{2}{3}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/10

Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a, SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. $\frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{7 a \sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{8 a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{5 a \sqrt{6}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/10

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng a. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

A. $a \sqrt{2} \cot α$

B. $a \sqrt{2} \tan α$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} \cos α$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2} \sin α$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 4/10 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với $B C = a \sqrt{2}, \hat{A B C} = 60 °$ . Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng