10 Bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Mà SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD.

Lại có AO ^ BD nên BD ^ (SAC) ⇒ BD ^ SO.

Do đó góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng $\widehat{SOA}$ .

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2a\sqrt{2}$ .

Mà O là trung điểm AC nên $AO=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$  .

Xét ∆SAO vuông tại A, $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SOA}=60°$  .

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆SBC đều nên SM ^ BC, $SM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ .

Ta có (SBC) ^ (ABC) và SM ^ BC ⇒ SM ^ (ABC) ⇒ SM ^ AC.

Gọi N là trung điểm của AC ⇒ MN // AB mà AB ^ AC suy ra MN ^ AC.

Ta có SM ^ AC và MN ^ AC ⇒ AC ^ (SMN) ⇒ AC ^ SN .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng $\widehat{SNM}$ .

Xét ∆ABC vuông tại A, có AB = BC∙cos60° = a.

Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét ∆SMN vuông tại M,  $\tan \widehat{SNM}=\frac{SM}{MN}=2\sqrt{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Vì SO ^ (ABCD) nên SO ^ BC.

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ OM ^ BC.

Vì SO ^ BC và OM ^ BC nên BC ^ (SOM) ⇒ BC ^ SM.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $\widehat{SMO}$  .

Vì OM là đường trung bình của ∆ABC nên $OM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ CM.

Kẻ AH ^ CM tại H.

Vì SA ^ CM và AH ^ CM nên CM ^ (SAH) ⇒ CM ^ SH

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC) bằng .

Vì M là trung điểm của AB nên $BM=\frac{AB}{2}=1$.

Xét ∆CBM vuông tại B, có $CM=\sqrt{B{M}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{13}$  .

Ta có S_∆ABC­ = 2S_∆CMA nên  $\frac{1}{2}AB.BC=2.\frac{1}{2}AH.CM\Rightarrow 2\sqrt{3}=AH.\sqrt{13}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

Xét ∆SAH vuông tại A, $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\sqrt{13}}{4}$  .

Đáp án đúng là: B

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AB ^ BC (do tam giác ABC vuông cân tại B) nên BC ^ (SAB) ⇒ BC ^ SB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SBA}$  .

Xét ∆SAB vuông tại A, $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60°$  .

Đáp án đúng là: B

Vì $\left.\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\end{array}\right\}\Rightarrow SA\perp \left(ABCD\right)$  .

Kẻ CK ^ AB tại K.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do đó hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB) là SK.

Do đó .

Xét ∆SCK vuông tại K, có CK = SC.sin30° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì tam giác ABC cân tại C mà $CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  nên tam giác ABC đều.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC, SA ^ AB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng $\widehat{BAC}=60°$ .