8 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bất phương trình bậc hai một ẩn có đáp án (Phần 2) (Thông hiểu)

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai – x² + 6x + 7 có hai nghiệm x = – 1, x = 7 và có hệ số a = – 1 < 0.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – x² + 6x + 7 mang dấu “+” là (– 1; 7).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² + 6x + 7 > 0 là S = (– 1; 7).

Đáp án đúng là: C

Ta có (x² – 3x + 1)² + 3x² – 9x + 5 > 0

$\iff$ (x² – 3x + 1)² + 3(x² – 3x + 1) + 2 > 0

Đặt x² – 3x + 1 = t.

Khi đó ta có: t² + 3t + 2 > 0 (*).

Giải bất phương trình (*) ta được: $\left[\begin{array}{l}t<-2\\ t>-1\end{array}\right.$.

$\iff$ $\left[\begin{array}{c}{x}^2-3x+1<-2\\ x^2-3x+1>-1\end{array}\right.$$\iff$ $\left[\begin{array}{c}{x}^2-3x+3<0\\ x^2-3x+2>0\end{array}\right.$ 

$\iff$ $\left[\begin{array}{l}vônghiêm\\ \left[\begin{array}{c}x<1\\ x>2\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{c}x<1\\ x>2\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−$\infty$; 1) $\cup$ (2; +$\infty$).

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{1}{x^2-5x+4}$< $\frac{1}{x^2-7x+10}$

$\iff$$\frac{1}{x^2-7x+10}$−$\frac{1}{x^2-5x+4}$> 0

$\iff$$\frac{2x-6}{\left(x^2-7x+10\right)\left(x^2-5x+4\right)}$> 0

Ta có 2x – 6 = 0 có nghiệm là x = 3

Tam thức x² – 7x + 10 có hai nghiệm là x = 2, x = 5

Tam thức x² – 5x + 4 có hai nghiệm nghiệm là x = 1, x = 4

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S = (1; 2) $\cup$ (3; 4) $\cup$ (5; +¥).

Đáp án đúng là: A

Vì 2x² – 3x + 3 > 0, "x $\in$ ℝ (do a = 3 > 0, ∆ = −15 < 0)

Nên:

−1 ≤ $\frac{x^2+5x+a}{2x^2-3x+2}$< 7

$\iff$ −2x² + 3x – 2 ≤ x² + 5x + a < 7(2x² – 3x + 2)

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}-2x^2+3x-2\le x^2+5x+a\\ x^2+5x+a<14x^2-21x+14\end{array}\right.$

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}3x^2+2x+a+2\ge 0\left(1\right)\\ 13x^2-26x-a+14>0\left(2\right)\end{array}\right.$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x $\iff$ Hệ trên nghiệm đúng với mọi x

VT (1) = 3x² + 2x + a + 2 ≥ 0, "x

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}3>0\\ \Delta {\text{'}}_{\left(1\right)}=1-3(a+2)\le 0\end{array}\right.$

$\iff$ −5 − 3a ≤ 0 Û a ≥ $\frac{-5}{3}$ (3)

VT (2) = 13x² – 26x – a + 14 > 0, "x

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}13>0\\ \Delta {\text{'}}_{\left(2\right)}={13}^2-13(-a+14)<0\end{array}\right.$

$\iff$ −13 + 13a < 0 Û a < 1 (4)

Từ (3) và (4) ta được $\frac{-5}{3}$≤ a < 1.

Đáp án đúng là: C

Với m = 1, ta có: −4x – 3 > 0 Û x < $\frac{-3}{4}$

Không có nghiệm đúng với mọi x $\in$ ℝ

Với m ≠ 1, ta đặt f(x) = (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2)

BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x Û f(x) > 0, "x Î ℝ

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}<0\end{array}\right.$

$\iff$ $\left\{\begin{array}{c}m-1>0\\ \Delta \text{'}={(m+1)}^2-3(m-2)(m-1)<0\end{array}\right.$

$\iff$ $\left\{\begin{array}{c}m>1\\ -2m^2+11m-5<0\end{array}\right.$$\iff$ $\left\{\begin{array}{c}m>1\\ \left[\begin{array}{c}m<\frac{1}{2}\\ m>5\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff$ $\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}m>1\\ m<\frac{1}{2}\end{array}\left(VN\right)\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m>1\\ m>5\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\iff$ m > 5.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2x2 + x + 2 = $2\left(x^2+2.\frac{1}{4}x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\right)+\frac{15}{8}$ = $2{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{15}{8}>0$ với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, bất phương trình 2x2 + x + 2 > 0 có tập nghiệm S = ℝ.