Đề số 3

a, Từ $x=7-4\sqrt{3}$ tìm được $\sqrt{x}=2-\sqrt{3}$. Thay vào Q và tính ta được Q = $\frac{\sqrt{3}-3}{1+\sqrt{3}}$

b, P = $\frac{3\sqrt{x}+3}{9-x}$

c, Tìm được $M=\frac{P}{Q}=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}$

Giải $M\ge \frac{-2}{3}$ ta tìm được $\frac{9}{4}\le x\ne 9$

d, Tìm được A = $\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}$

Ta có A = $\frac{\left(x+1\right)+6}{\sqrt{x}+3}\ge \frac{2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+3}=2$

Từ đó đi đến kết luận $A_{min}=2$ => x = 1

* Cách khác: A = $\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}$

= $\sqrt{x}+3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6\ge 2\sqrt{16}-6=2$

=> Kết luận

Gọi số chi tiết máy tổ một và hai sản xuất được lần lượt là x và y (x, y Î N*; x, y < 900)

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\ 1,15x+1,1y=1010\end{array}\right.$

Giải được x = 400 và y = 500

Vậy theo kế hoạch tổ một và hai phải sản xuất lần lượt 400 và 500 chi tiết máy

a, Cách 1. Đặt $\frac{1}{y+1}=u$ ta được $\left\{\begin{array}{l}3x-2u=1\\ 5x+2u=3\end{array}\right.$

Giải ra ta được $x=\frac{1}{2};u=\frac{1}{4}$

Từ đó tìm được y = 3

Cách 2. Cộng vế với vế hai phương trình, ta được 8x = 4

Từ đó tìm được $x=\frac{1}{2}$ và y = 3

b, Vì x₁x₂ = -m² - 1 < 0 "m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và trái dấu.

Cách 1. Giả sử  $x_1$ < 0 < $x_2$

Từ giả thiết thu được – $x_1$+ $x_2$ = $2\sqrt{2}$

Biến đổi thành ${\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=8$

Áp dụng định lý Vi-ét, tìm được m = 1 hoặc m = $\frac{-3}{5}$

Cách 2. Bình phương hai vế của giả thiết và biến đổi về dạng

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+2\left|x_1{x}_2\right|=8$

=> ${\left(m-1\right)}^2+4\left(m^2+1\right)=8$

Do $\left|x_1{x}_2\right|=-x_1{x}_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta cũng tìm được m = 1 hoặc m = $\frac{-3}{5}$

a, Tứ giác BDQH nội tiếp vì $\widehat{BDH}+\widehat{BQH}={180}^0$

b, Vì tứ giác ACHQ nội tiếp => $\widehat{CAH}=\widehat{CQH}$

Vì tứ giác ACDF nội tiếp  => $\widehat{CAD}=\widehat{CFD}$

Từ đó có $\widehat{CQH}=\widehat{CFD}$ mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//HQ

c, Ta có $\widehat{HQD}=\widehat{HBD}$ (câu a)

$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CD}$

$\widehat{CAD}=\widehat{CQH}$ (ACHQ cũng nội tiếp)

=> $\widehat{HQD}=\widehat{HQC}$ => QH là phân giác $\widehat{CQD}$

Mặt khác chứng minh được CH là phân giác góc $\widehat{QCD}$

Trong tam giác QCD có H là giao của ba đường phân giác nên H là tâm đường tròn nội tiếp => H cách đều 3 cạnh CD, CQ, DQ

d, Vì CMFN là hình chữ nhật nên MN và CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Trong tam giác FCD có MN//CD và MN đi qua trung điểm CF nên MN đi qua trung điểm DF

Mặt khác AB đi qua trung điểm của DF nên 3 đường thẳng MN, AB, DF đồng quy

Ta có: $2x^2+\frac{1}{2}\ge 2x$; $2y^2+\frac{1}{2}\ge 2y$ và $x^2+y^2\ge 2xy$

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:

$3\left(x^2+y^2\right)+1\ge 2\left(x+y+xy\right)=\frac{5}{2}$

=> A = $x^2+y^2\ge \frac{1}{2}$

Từ đó tìm được $A_{min}=\frac{1}{2}$ <=> x = y = $\frac{1}{2}$