Giải sbt Giải tích 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) 

f′(x) > 0 trên khoảng (-4; 0) và f’(x) < 0 trên khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và $f_{CĐ}$ = 5

Mặt khác, ta có f(-4) = f(4) = 3

Vậy 

d) f(x) = |$x^2$ − 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số g(x) = $x^2$ – 3x + 2.

Ta có:

g′(x) = 2x − 3; g′(x) = 0 ⇔ x = 3/2

Bảng biến thiên:

Vì

nên ta có đồ thị f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra: min f(x) = f(1) = f(2) = 0; max = f(x) = f(−10) = 132

e) 

f′(x) < 0 nên và f’(x) > 0 trên (π/2; 5π/6] nên hàm số đạt cực tiểu tại x = π/2 và $f_{CT}$ = f(π/2) = 1

Mặt khác, f(π/3) = 2√3, f(5π/6) = 2

Vậy min f(x) = 1; max f(x) = 2

g) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0; 3π/2]

f′(x) = 2cosx + 2cos2x = 4cos(x/2).cos3(x/2)

f′(x) = 0

⇔ 

Ta có: f(0) = 0,

Từ đó ta có: min f(x) = −2 ; max f(x) = 3√3/2

a)  trên khoảng (−$\infty$;+$\infty$);

Từ đó ta có min f(x) = −1/4; max f(x) = 1/4

b)  trên khoảng 

y′ = 0 ⇔ x = π

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là: max y = y(π) = −1.

TXĐ: D = R\{0}

f′(x) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-3;0), (0;3) và đồng biến trong các khoảng (−$\infty$;3), (3;+$\infty$)

Bảng biến thiên:

Ta có: [2;4] ⊂ (0; +$\infty$); f(2) = 6,5; f(3) = 6; f(4) = 6,25

Suy ra

min f(x) = f(3) = 6; max f(x) = f(2) = 6,5

Đặt f(x) = $x^3$ – 3$x^2$ (C1)

y = m (C2)

Phương trình $x^3$ – 3$x^2$ – m = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (C1) và (C2) có ba giao điểm.

Ta có:

f′(x) = 3$x^2$ − 6x = 3x(x − 2) = 0

Bảng biến thiên:

Suy ra (C1), (C2) cắt nhau tại 3 điểm khi -4 < m < 0

Kết luận : Phương trình $x^3$ – 3$x^2$ – m = 0 có ba nghiệm phân biệt với những giá trị của m thỏa mãn điều kiện: -4 < m < 0.

Cho m > 0. Đặt x là số thứ nhất, 0 < x < m , số thứ hai là m – x

Xét tích P(x) = x(m – x)

Ta có: P’(x) = -2x + m

P′(x) = 0 ⇔ x = m/2

Bảng biến thiên

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là: max P(x) = P(m/2) = $m^2$/4

s = 6$t^2$ − $t^3$, t > 0

Vận tốc chuyển động là v = s’ , tức là v = 12t – 3$t^2$

Ta có: v’ = 12 – 6t

v’ = 0 ⇔ t = 2

Hàm số v đồng biến trên khoảng (0;2) và nghịch biến trên khoảng (2;+$\infty$).

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2. Khi đó max V = $V_{CĐ}$ = v(2) = 12(m/s).