Sau khi học Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn, ta có thể dùng ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn để giải quyết bài toán mở đầu như sau:

Khi chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 25 thì kích thước của mặt cắt ngang là x (cm) và 32 – 2x (cm). Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm2).

Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước lớn hơn 120 cm2 khi và chỉ khi

(32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0.

Tam thức – 2x2 + 32x – 120 có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 10 và hệ số a = – 2 < 0. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 2x2 + 32x – 120 mang dấu “+” là (6; 10).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0 là [6; 10].

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm.

Câu 2/14

Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình 3x² – 4x – 8 < 0.

Lời giải

Ta thấy VT của bất phương trình đã cho là 3x² – 4x – 8, đây là một tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0.

Câu 3/14

a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải

a) Ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn:

5x2 + 10x – 50 > 0;

– 7x2 + 3x – 5 ≤ 0;

…

b) Ví dụ về bất phương trình không phải bất phương trình bậc hai một ẩn:

8x2 – 9y > 0;

2x2 – 3y + z < 0; …

Câu 4/14

a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2.

b) Giải bất phương trình x2 – x – 2 > 0.

Lời giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 2 có ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 2, x₂ = 1.

Lại có hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞ – 2 1 + ∞
f(x)	+ 0 – 0 +

b) Dựa vào bảng xét dấu ở câu a, ta thấy x² – x – 2 > 0 hay f(x) > 0 hay chính là tam thức f(x) mang dấu “+” khi .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² – x – 2 > 0 là (– ∞; – 2) ∪ (1; +∞).

Câu 5/14

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 3x2 – 2x + 4 ≤ 0;

b) – x2 + 6x – 9 ≥ 0.

Lời giải

a) Tam thức bậc hai 3x² – 2x + 4 có ∆ = (– 2)² – 4 . 3 . 4 = – 44 < 0 và hệ số a = 3 > 0.

Vậy 3x² – 2x + 4 > 0 với mọi .

Do đó không có giá trị nào của x để bất phương trình 3x² – 2x + 4 ≤ 0

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Tam thức bậc hai – x² + 6x – 9 có ∆ = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0.

Do đó nghiệm kép của tam thức là x = 3.

Lại có hệ số a = – 1.

Nên tam thức – x² + 6x – 9 < 0 với mọi .

Tại x = 3 thì – x² + 6x – 9 = 0.

Do vậy chỉ có giá trị x = 3 để bất phương trình – x² + 6x – 9 ≥ 0.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 3.

Câu 6/14

Cho bất phương trình x² – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát parabol (P): y = x² – 4x + 3 ở Hình 26 và cho biết:

a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x.

Lời giải

a) Bất phương trình: x² – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát Hình 26, ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trên của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với x < 1 hoặc x > 3.

Câu 7/14