Bài tập Bài 1. Tọa độ của vectơ có đáp án

Câu 1:

Hãy tìm cách xác định vị trí các quân mã trên bàn cờ vua.

Câu 2:

Câu 3:

Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ $\overrightarrow{a}$ tùy ý. Vẽ  $\overrightarrow{OA}= \overrightarrow{a}$ và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (Hình 4). Đặt $\overrightarrow{O{A}_1}$ = x $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{O{A}_2}$ = y $\overrightarrow{j}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{a}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ .

Câu 5:

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(−1; 4), E(0; −3), F(5; 0).

a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

Câu 6:

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}$.

Câu 7:

c) Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$  lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Câu 8:

Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30° (Hình 7).

a) Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Câu 9:

b) Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$

Câu 10:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ  $\overrightarrow{a}$ = (a₁; a₂),  $\overrightarrow{b}$= (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$  như sau: $\overrightarrow{a}$ = a₁$\overrightarrow{i}$  + a₂$\overrightarrow{j}$  ; $\overrightarrow{b}$ = b₁$\overrightarrow{i}$ + b₂ ^{$\overrightarrow{j}$}.

a) Biểu diễn từng vectơ: $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}$ , k $\overrightarrow{a}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$ .

Câu 11:

b) Tìm: $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}$ theo tọa độ của hai vectơ  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Câu 12:

Cho hai vectơ  $\overrightarrow{m}$ = (−6; 1),  $\overrightarrow{n}$ = (0; 2).

a) Tìm tọa độ các vectơ  $\overrightarrow{m}+ \overrightarrow{n}$  ,  $\overrightarrow{m}- \overrightarrow{n}$ , 10$\overrightarrow{m}$  , −4 $\overrightarrow{n}$

Câu 13:

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{m}. \overrightarrow{n}$ , (10$\overrightarrow{m}$ ). (−4$\overrightarrow{n}$ ).

Câu 14:

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (10; −8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\overrightarrow{w}$ = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc  $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{w}$ .

Câu 15:

Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$ , tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo tọa độ hai điểm A, B.

Câu 16:

Cho E(9; 9); F(8; −7), G(0; −6). Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FG}, \overrightarrow{EG}$

Câu 17:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$

Câu 18:

b) Biểu thị vectơ  $\overrightarrow{OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$

Câu 19:

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Câu 20:

Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; − 2), R(−4; 9) và S(5; 8).

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

Câu 21:

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Câu 22:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (a₁; a₂),  $\overrightarrow{b}$= (b₁; b₂) và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a)  $\overrightarrow{a}$ ⊥ $\overrightarrow{b}$  ⇔ $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}$ = 0 ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ = ..?..;

Câu 23:

b)  $\overrightarrow{a}$ và  $\overrightarrow{b}$ cùng phương ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=t{b}_1\\ a_2=t{b}_2\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}{b}_1=k{a}_1\\ b_2=k{a}_2\end{array}\right.$ ⇔ a₁b₂ − a₂b₁ = ..?..;

Câu 24:

c) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(\overrightarrow{a}\right)}^2}=\sqrt{\mathrm{..}?.}$;

Câu 25:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

Câu 26:

b) Giải tam giác DEF.

Câu 27:

Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; −23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(−10; 20).

a) Tính số đo của $\widehat{BAC}$.

Câu 28:

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Câu 29:

Trên trục (O; $\overrightarrow{e}$) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; −1; −5; 0.

a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

Câu 30:

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng hay ngược hướng?

Câu 31:

Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; −3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành;

Câu 32:

b) Thuộc trục tung;

Câu 33:

Cho bốn điểm A(2; 0), B(0; –2), C(0; –3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Câu 34:

Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

Câu 35:

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox;

Câu 36:

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

Câu 37:

d) Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

Câu 38:

e) Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Câu 39:

Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Câu 40:

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.