Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz cho điểm $M_o$(1; 2; 3) và hai điểm $M_1$(1 + t; 2 + t; 3 + t),$M_2$(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm $M_o$,$M_1$,$M_2$ luôn thẳng hàng.

Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số

$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3-3t\\ z=5+4t\end{array}\right.$

Hãy tìm tọa độ của một điểm M trên Δ và tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=6+4t\\ z=4+t\end{array}\right.và \left\{\begin{array}{l}x=2+t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\\ z=5+2t\text{'}\end{array}\right.$

Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d’

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=6+4t\\ z=4+t\end{array}\right.và \left\{\begin{array}{l}x=2+t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\\ z=5+2t\text{'}\end{array}\right.$

Hãy chứng tỏ d và d’ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau: $d:\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=4+t\\ z=5-2t\end{array} và d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=2-3t\text{'}\\ y=5+3t\text{'}\\ z=3-6t\text{'}\end{array}\right.\right.$

Tìm số giao điểm của mặt phẳng (α): x + y + z - 3 = 0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau:

$a) d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=1\end{array}\right.b) d: \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=1-t\end{array}\right.c)\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-4t\\ z=1+3t\end{array}\right.$

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(2;-3;1\right)$

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0.

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng $\left(∆\right):\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t\end{array}\right.$

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3+2t\\ z=1+3t\end{array}\right.$ lần lượt trên các mặt phẳng Oxy

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3+2t\\ z=1+3t\end{array}\right.$ lần lượt trên các mặt phẳng Oyz

Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau: $a) d:\left\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=-2+3t\\ z=6+4t\end{array}\right. d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=5+t\text{'}\\ y=-1-4t\text{'}\\ z=20+t\text{'}\end{array}\right.$

$b) d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}\right. d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=-1+2t\\ z=2-2t\text{'}\end{array}\right.$

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: $d: \left\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}\right. d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\text{'}\\ y=2+2t\text{'}\\ z=3-t\text{'}\end{array}\right.$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:$d:\left\{\begin{array}{l}x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t\end{array}\right.\left(\alpha \right): 3x+5y-z-2=0$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+2t\end{array}\right.\left(\alpha \right):x+3y+z+1=0$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: 

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=2-3t\end{array}\right. \left(\alpha \right):x+y+z-4=0$

Tính khoảng cách giữ đường thẳng $∆:\left\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=-1+3t\\ z=-1+2t\end{array}\right. và mp\left(\alpha \right):2x-2y+z+3=0$

Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng $∆:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\\ z=t\end{array}\right.$ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $∆$

Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng $∆:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\\ z=t\end{array}\right.$ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng $∆$

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. Tính khoảng cách từ M đến mp(α).

Cho hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3t\end{array}\right.$và d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=1\end{array}\right.$ chứng minh d và d' chéo nhau.

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).