12 bài tập Chứng minh bất đẳng thức có lời giải

57 người thi tuần này 4.6 474 lượt thi 13 câu hỏi 45 phút

Đề số 1

🔥 Học sinh cũng đã học

84 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục (Hà Nội) có đáp án

314 lượt thi 7 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

266 lượt thi 6 câu hỏi

33 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

263 lượt thi 7 câu hỏi

32 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

262 lượt thi 6 câu hỏi

45 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) có đáp án

275 lượt thi 7 câu hỏi

477 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 19

4.5 K lượt thi 53 câu hỏi

149 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 18

4.2 K lượt thi 100 câu hỏi

98 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 17

4.1 K lượt thi 100 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/13

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) 2023 + (−19) và 2024 + (−19);

b) \[\sqrt 2 \] + 2 và 4.

c) −3 + 23⁵⁰ và −2 + 23⁵⁰.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2023 < 2024.

Cộng hai vế với −19 ta được 2023 + (−19) < 2024 + (−19).

b) Ta có: 4 = 2 + 2 > 2 + \[\sqrt 2 \] nên 4 > 2 + \[\sqrt 2 \].

c) Có −3 < −2 nên cộng hai vế với 23⁵⁰ ta được −3 + 23⁵⁰ < −2 + 23⁵⁰.

Câu 2/13

Cho hai số a, b thỏa mãn a² > b² > 0. Chứng tỏ 5a² > 4b².

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: a² > b² nên 5a² > 5b².

Mà 5b² > 4b² nên 5a² > 4b².

Câu 3/13

Cho hai số m, n thỏa mãn 0 < m^2m< n². Chứng minh \[\frac{3}{2}\]m² < 2n²

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: m² < n²nên nhân cả hai vế với 2 ta được 2m² < 2n^²

Mà 2m² > \[\frac{3}{2}\]m² nên \[\frac{3}{2}\]m² < 2n²

Câu 4/13

Với mọi x, y, z chứng minh rằng x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có:

P = x² + y² + z² − xy − yz − zx

2P = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2xz

2P = (x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2zx + z²)

2P = (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

Suy ra P ≥ 0 hay x² + y² + z² – xy – yz – zx ≥ 0

Vậy x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (đpcm).

Câu 5/13

Với mọi a, b chứng minh (a² + b²)² ≥ ab.(a + b)².

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu (a² + b²)² – ab(a + b)²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ – a³b – 2a²b² – ab³

= a⁴ + b⁴ – a³b – ab³

= a³(a – b) + b³ (b – a)

= (a – b)(a³ – b³)

= (a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0.

Do đó, (a² + b²)² – ab(a + b)² ≥ 0.

Vậy (a² + b²)² ≥ ab.(a + b)².

Câu 6/13

Với mọi a, b chứng minh a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu A = a² + b² + 1 – ab – a – b

2A = 2a² + 2b² + 2 – 2ab – 2a – 2b

2A = (a² – 2ab + b²) + (a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1)

2A = (a – b)² + (a – 1)² + (b – 1)² ≥ 0

Suy ra A ≥ 0 hay a² + b² + 1 – ab – a – b ≥ 0.

Vậy a² + b² + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).

Câu 7/13