Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là: (x − 30)²+ (y − 40)²= 50².

Câu 2/33

Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy.

Lời giải

Ta có: $\vec{I M}$ = (x – a; y – b).

Khi đó IM = $|\vec{I M}| = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ .

Vậy khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy là IM = $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ .

Câu 3/33

Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

Lời giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: (x – 0)²+ (y – 0)²= 4² hay x²+ y²= 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: x²+ y²= 16.

Câu 4/33

b) (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8;

Lời giải

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)²+ (y + 2)²= 8² hay (x − 2)²+ (y + 2)²= 64.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)²+ (y + 2)²= 64.

Câu 5/33

c) (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

Lời giải

c) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:

$\vec{A I} (a - 1; b - 4)$ ⇒ AI = $\sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 4)}^{2}}$ ;

$\vec{B I} (a; b - 1)$ ⇒ BI = $\sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2}}$ ;

$\vec{C I} (a - 4; b - 3)$ ⇒ CI = $\sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2}}$ .

Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

AI = BI = CI = R

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 4)}^{2}} & = \sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2}} \\ \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2}} & = \sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2}} \end{cases}

⇔ $\{\begin{cases} a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} - 8 b + 16 = a^{2} + b^{2} - 2 b + 1 \\ a^{2} - 8 a + 16 + b^{2} = 6 b + 9 = a^{2} + b^{2} - 2 b + 1 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} a + 3 b = 8 \\ 2 a + b = 6 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} 5 a = 10 \\ 2 a + b = 6 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} b = 2 \\ a = 2 \end{cases}$

Suy ra tâm I(2; 2)

Bán kính của đường tròn (C) là: R = $\sqrt{a^{2} + {(b - 1)}^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + {(2 - 1)}^{2}}$ = $\sqrt{5}$ .

Phương trình đường tròn (C) là:

(x – 2)² + (y – 2)² = ${(\sqrt{5})}^{2}$

⇔ (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

Câu 6/33

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² − 2x − 4y – 20 = 0;

Lời giải

a) Phương trình đã cho có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a² + b² − c = 1² + 2² + 20 = 25 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Câu 7/33

b) (x + 5)² + (y + 1)² = 121;

Lời giải

b) Phương trình có dạng (x − a)² + (y − b)² = R² với a = −5; b = −1; R = 11.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(−5; −1) và bán kính R = 11.

Câu 8/33

c) x² + y² − 4x − 8y + 5 = 0;

Lời giải

c) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a² + b² − c = 2² + 4² – 5 = 15 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = $\sqrt{15}$ .

Câu 9/33