O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là các hình chiếu của O trên BC, AC, AB. Trên các tia OD, OE, OF lấy lần lượt các điểm $A\text{'},B\text{'},C\text{'}$ sao cho $OA\text{'}=BC, OB’=AC, OC\text{'}=AB.$

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trong tam giác.

b) Điểm O có vị trí gì đối với tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$?

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa B và M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, cắt AC ở E. Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau

A) Diện tích tam giác DEC thay đổi phụ thuộc vào vị trí của điểm D.

B) Diện tích tam giác DEC bằng $\frac{1}{2}$ diện tích tam giác ABC.

C) Diện tích tam giác DEC bằng $\frac{1}{2}$ diên tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm O, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD= \frac{1}{3}AB,BE=\frac{1}{3}BC,CF=\frac{1}{3}CA.$ Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=DB,BE=\frac{1}{2}EC,CF=\frac{1}{3}FA.$ Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

Tính diện tích tam giác ABC, biết AB=3cm, AC=5cm, đường trung tuyến AM=2cm.

Tính diện tích tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến của nó bằng 15 cm, 36 cm, 39 cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC=20cm, AB=15cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD=AB. Tính độ dài BD.

Có tam giác nào mà độ dài các đường cao đều nhỏ hơn 1 cm nhưng diện tích bằng $2000c{m}^2$ không?

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, diện tích tam giác bằng S. Chứng minh rằng $6S\le a^2+b^2+c^2$.

Tính diện tích hình thang cân có đường cao bằng h, biết rằng hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau.

Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 9 m và 12 m, tổng hai đáy bằng 15 m.

Qua giao điểm O của các đường chéo của một hình thang, vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên E và G. Chứng minh rằng OE=OG.

Hình thang ABCD có diện tích S, đáy DC gấp đôi đáy AB. Gọi M là trung điểm của AD, K là giao điểm của BM và AC. Tính diện tích tam giác ABK.

Điểm O là giao điểm các đường chéo của hình thang ABCD (AB//CD). Biết diện tích các tam giác AOB, COD theo thứ tự bằng $a^2,b^2.$ Tính diện tích hình thang (a, b > 0)

Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. CD, DA. Gọi E và F theo thứ tự là giao điểm của KB với AI và MC. Gọi H và G theo thứ tự là giao điểm của DN với AI và MC

a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.

b) Tính diện tích hình bình hành EFGH theo S.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N trên cạnh CD sao cho DM=CN. Tính diện tích hình thoi ABCD, biết rằng tam giác BMN là tam giác đều.

Tứ giác ABCD có $\widehat{B}=90°,$ AB=4cm, BC=3cm, CD=12cm, AD=13cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối. Chứng minh rằng $S_{AOD}+S_{BOC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$

Các đường chéo của một tứ giác chia tứ giác đó thành bốn tam giác trong đó ba tam giác có diện tích bằng $30c{m}^2,60c{m}^2,90c{m}^2.$ Tính diện tích tứ giác đó.

a) $S\le \frac{a^2+b^2}{4}$ với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a, b

b) $S\le \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}$ với S là diện tích của tứ giác có độ dài bốn cạnh bằng a, b, c, d