(Đúng sai) 128 bài tập Phương trình mặt cầu (có lời giải)

Cho hai điểm \(A(1; - 2;3),B(2;0;1)\) và mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) đi qua \(B\).

a) Mặt cầu \((S)\) có bán kính \(R = AB\).

c) Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 81\).

d) Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0\).

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phroong án: đúng (Đ) hoă̆c sai \(({\bf{S}})\). Cho hai điểm \(M(0; - 1;1)\) và \(N(4;1;5)\).

a) Mặt cầu đường kính MN có tâm là trung điểm của đoạn thẳng MN.

b) Nếu \(I\) là trung điểm của MN thì \(I(2;0;6)\).

c) Bán kính của mặt cầu đường kính MN bằng 3 .

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phroong án: đúng (Đ) hoă̆c sai \(({\bf{S}})\). Cho hai điểm \(M(0; - 1;1)\) và \(N(4;1;5)\).

Cho điểm \(I(1;2;3)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

a) Nếu \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\vec u\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

b) Vectơ có toạ độ \((2;1; - 1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

c) Vectơ có toạ độ \((2;1;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

d) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(2x + y + z - 9 = 0\).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + 4y - 2z + 2 = 0,\left( {{P_2}} \right): - 2x + y + z + 3 = 0\).

a) Vectơ \({\vec n_1} = (1;4; - 2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

b) Vectơ \({\vec n_2} = (2;1;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

c) \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0\) với \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

d) Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) vuông góc với nhau.

Cho hai diểm \(A(0;2;0)\) và \(B(2; - 4;0)\).

a) Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng AB có tọa độ là \((1; - 1;0)\).

c) Mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và đi qua \(B\) có bán kính \(R = \sqrt {10} \).

d) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và đi qua \(B\) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 10.{\rm{ }}\)

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Khi đó:

a) Tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {1; - 2;3} \right)\);

b) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 16\);

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Khi đó:

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Khi đó:

d) Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn có bán kính nhỏ hơn 3.

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[M\,(3; - 2;5),\,\,N\,( - 1;6; - 3)\]. Khi đó:

a) Mặt cầu tâm \(M\) và bán kính \(R = 5\) có phương trình là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 25\);

b) Mặt cầu đường kính \[MN\] có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\);

c) Bán kính của mặt cầu đường kính \[MN\] là \(R = 6\);

d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right):2x + y - 2z - 20 = 0\) tiếp xúc mặt cầu đường kính \[MN\] có phương trình là \(2x + y - 2z + 16 = 0\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4z - 4 = 0\]. Khi đó:

a) Tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là \[I\,(1;0; - 2)\];

b) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \[R = 3\];

c) Điểm \(M\left( {2;3;2} \right)\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\);

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4z - 4 = 0\]. Khi đó:

d) Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right):x + y - z + 1 = 0\] và cắt \[\left( S \right)\] theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng \[6\pi \] là \[\left( P \right):x + y - z = 0\] hoặc \[x + y - z + 6 = 0\].

Trong không gian \[Oxyz\], cho 4 điểm \(A\left( {1; - 4;2} \right),{\rm{ }}B\left( {1;1; - 3} \right),{\rm{ }}C\left( {2;3;2} \right),{\rm{ }}D\left( {1;4;0} \right)\). Khi đó:

a) Mặt cầu tâm \[A\] và đi qua \[B\]có bán kính \(R = 5\sqrt 2 \);

b) Phương trình mặt cầu tâm \[A\] đi qua \[B\] là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 10\);

c) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\]có phương trình là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 26\);

Trong không gian \[Oxyz\], cho 4 điểm \(A\left( {1; - 4;2} \right),{\rm{ }}B\left( {1;1; - 3} \right),{\rm{ }}C\left( {2;3;2} \right),{\rm{ }}D\left( {1;4;0} \right)\). Khi đó:

d) Mặt cầu \(\left( S \right)\) qua 2 điểm \[A,B\] và có tâm thuộc đường thẳng \[CD\] có phương trình là: \({\left( {x - \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{10}}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{7}{3}} \right)^2} = \frac{{124}}{3}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z - 4 = 0\). Khi đó:

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 9\);

b) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{13}}{3}\);

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z - 4 = 0\). Khi đó:

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với  mặt cầu \(\left( S \right)\)tại \(H\left( {3;0;2} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z - 4 = 0\). Khi đó:

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 9\);

b) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{13}}{3}\);

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z - 4 = 0\). Khi đó:

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với  mặt cầu \(\left( S \right)\)tại \(H\left( {3;0;2} \right)\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 2y - z + 9 = 0\] và mặt cầu\(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\). Khi đó:

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2;1} \right)\) và bán kính \(R = 10\);

c) Đường thẳng qua \[I\left( {3; - 2;1} \right)\] vuông góc với \[\left( P \right)\] có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\];

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 2y - z + 9 = 0\] và mặt cầu\(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\). Khi đó:

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 10\) và hai điểm \[A\left( {1;2; - 4} \right)\] và \[B\left( {1;2;14} \right)\]. Khi đó:

a) Mặt cầu \[\left( S \right)\]  có tâm \[I\left( {1;0;2} \right)\]; \[R = 10\];

b) Phương trình mặt cầu tâm B và có bán kính \[R = 5\] là  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 14} \right)^2} = 5\);

c) Phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 324\);

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 10\) và hai điểm \[A\left( {1;2; - 4} \right)\] và \[B\left( {1;2;14} \right)\]. Khi đó:

d) Điểm \[M\] thay đổi trên mặt cầu \[\left( S \right)\], giá trị nhỏ nhất của \[MA + 2MB\] bằng \[3\sqrt {82} \].

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {2; - 2;4} \right)\], \[B\left( { - 3;3; - 1} \right)\] và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\). Khi đó:

a) Mặt cầu \[\left( S \right)\]  có tâm \[I\left( {1;3;3} \right)\]; \[R = \sqrt 3 \];

b) Phương trình mặt cầu tâm B và bán kính R = 5 là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\);

c) Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = 75\);

d) Điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng 105 .

Trong không gian \(Oxyz\). Khi đó:

a) Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 0\] không là phương trình mặt cầu;

b) Phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\] là phương trình mặt cầu;

c) Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 2z + 17 = 0\] là phương trình mặt cầu;

Trong không gian \(Oxyz\). Khi đó:

d) Phương trình \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 12x + 8y - 4z - 40 = 0\] không là phương trình mặt cầu..

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và \(N\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\). Khi đó:

a) Mặt cầu tâm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) bán kính \(R = 5\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\);

b) Điểm \(N\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\) nằm trong mặt cầu tâm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) bán kính \(R = 5\);

c) Mặt cầu đường kính \(MN\) có phương trình là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\);

d) Giả sử một thiết bị phát sóng đặt tại điểm\(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\), vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 3 thì điểm \(N\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\)thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: trong cùng một thời điểm tọa độ của điểm \(M\)trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí điểm \(M\)cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm \(M\)là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 4 vệ tinh đặt tại các vị trí \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\), \(B\left( {1;\, - 6;\, - 4} \right)\), \(C\left( {1; - 4;\,1} \right)\), \(D\left( { - 8;\,2;\,4} \right)\). Một điểm\(M\) trong không gian thỏa mãn khoảng cách từ \(M\)đến các vệ tinh lần lượt là: \(MA = 13\), \(MB = 10\), \(MC = 7\), \(MD = 17\). Khi đó:

a) Điểm\(M\) thuộc mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 169\);

b) Điểm\(M\) nằm trên giao tuyến của hai mặt cầu có phương trình:  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 10\) và \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 169\);

c) Điểm\(M\)nằm trên giao tuyến của hai mặt cầu tâm \(C\), bán kính bằng 7 và mặt cầu tâm D bán kính bằng 17 nên có tọa độ thỏa mãn phương trình: \(9x - 6y - 3z - 87 = 0\);

d) Điểm \(M\) có tọa độ là \(M\left( {7;\,6;\,4} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \[I\] và bán kính \[R\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \[R = 9\]. 

c) Tọa độ tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là\[I\left( {0;0; - 2} \right)\] .

d) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \[R = 3\].