Lý thuyết Bài 11: Hình thoi

M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD

⇒ AM = MB; BN = NC; CP = DP; AQ = DQ

+ Xét Δ ABD có

⇒ MQ là đường trung bình của Δ ABD.

⇒ QM = 1/2BD = 1/2AC       ( 1 )

+ Xét Δ ABC có

⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC.

⇒ MN = 1/2BD = 1/2AC       ( 2 )

+ Xét Δ BCD có

⇒ NP là đường trung bình của Δ BCD.

⇒ NP = 1/2BD = 1/2AC       ( 3 )

+ Xét Δ ADC có

⇒ QP là đường trung bình của Δ ADC.

⇒ QP = 1/2BD = 1/2AC       ( 4 )

Từ ( 1 ),( 2 ),( 3 ),( 4 ) ⇒ MN = NP = PQ = QM.

⇒ MNPQ là hình thoi.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh CD, theo giả thiết ta có:

 ⇒ AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD       ( 1 )

Áp dụng định nghĩa của hình thoi ABCD, ta có

AD = AB = BC = CD       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có AD = AC = CD ⇒ Δ ACD là tam giác đều

Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao

AH ⊥ BC, AK ⊥ CD.

Ta cần chứng minh: AH = AK.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết của hình thoi ABCD, ta có:

 ⇒ Δ ABH = Δ ADH ( g - c - g )

⇒ AH = AK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

→ (đpcm)