10 Bài tập Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}\iff BA\perp BC$

Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: Do ABCD là hình vuông nên $AB\perp AD\iff \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do ABCD là hình thoi nên AB không vuông góc với AC nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ne 0$.

Hai đường chéo AC và BD của hình thoi vuông góc với nhau tại O nên

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$; $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{DO}=0$; $\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}\right)\left(\overrightarrow{SB\text{'}}-\overrightarrow{SA\text{'}}\right)$  (áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ)

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB\text{'}}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA}\text{'}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB\text{'}}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}\text{'}\right)$

Lại có: AA’ vuông góc với BB’ tại S nên ta có:

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB\text{'}}=0$

$\overrightarrow{\mathrm{SB}}.\overrightarrow{\mathrm{SA}\text{'}}=0$

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA\text{'}}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB\text{'}}$

Từ đó suy ta $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=0$

Vậy SM vuông góc với A’B’.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0\iff \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{DB}\perp \overrightarrow{AC}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

Ta có:

$\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=2{\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^2$

$=2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$

$={2.1}^2+2.0-0-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=0$

Vậy $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ vuông góc.

Tương tự, ta kiểm tra tích vô hướng của các cặp vectơ ở các đáp án B, C, D, các tích này đều khác 0 nên chúng không vuông góc.